Тег «задача»

С Рождеством Христовым: шары и звезда

Приближается католическое Рождество (да и Новый год, и наше Рождество тоже не за горами :-) ). И Тито Элиатрон в своем блоге поздравляет всех с наступающим праздником. Также он предлагает отвлечься от сопутствующих Рождеству совершенно не христианских чревоугодия и алчности и поиграть в интересную математическую игру. Игра эта называется “шары и звезда’’.

Читать полностью ‘С Рождеством Христовым: шары и звезда’ »

Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера

Мартин Гарднер

1. Безумный разрез

Вы должны сделать один разрез (или нарисовать линию) — конечно, это не обязательно должна быть прямая — которая разделит фигуру на две одинаковые части. Читать полностью ‘Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера’ »

L Олимпиада по математике, Испания, продолжение

Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.

4. Пусть \{ x_n\}_{n\ge 1} — последовательность натуральных чисел, такая что x_1=2 и x_{n+1}=2x_n^3+x_n для любого n\ge 1. Найдите, на какую наибольшую степень числа 5 делится x_{2014}^2+1. Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания, продолжение’ »

L Олимпиада по математике, Испания

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) 13, б) 14, в) 15? Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания’ »

Регулярные графы

Это продолжение темы о графах, начало смотрите здесь.

Определение. Граф, степени всех вершин которого одинаковы, называется регулярным.

Задача 1. В некоторой компании любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этой компании все имеют одинаковое число знакомых.

Показать решение

Задача 2. В лагере отдыхают 50 школьников. Известно, что среди любых школьников найдется по крайней мере один, знакомый с тремя остальными. Докажите, что найдется школьник, знакомый со всеми остальными школьниками. Читать полностью ‘Регулярные графы’ »

Немного о графах

Задачи на теорию графов встречаются на школьных математических олимпиадах, начиная, по моим наблюдениям, где-то с регионального этапа. И решать такие задачи обычным школьникам, которые о графах никогда не слышали, тяжело. Приведу некоторые начальные сведения из теории графов и пару, как мне кажется, интересных задач, для решения которых понадобятся только приведенные здесь сведения.

Итак, что же такое граф?

Определение. Пусть задано некоторое непустое множество V и множество E пар различных элементов из V. Элементы множества V называются вершинами графа, элементы множества E называются ребрами графа, а пара (V,E), т.е. множество вершин и множество ребер, называется графом.

Обычно в качестве множества V берут множество первых n натуральных чисел, т.е. вершины графа просто нумеруют по порядку. Слева на рисунке вы видите изображение графа с V=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} и ребрами

    \[E=\{ (1,2),(1,3),(2,3),(2,5),(2,8),(3,4),(4,6),(5,6),(5,7),(6,7),(7,8)\}.\]

Если две вершины графа соединены ребром, то они называются смежными, иначе — несмежными. Число ребер, выходящих из данной вершины, называется степенью этой вершины. Читать полностью ‘Немного о графах’ »