Тег «задача»

Таинственное число 6174

Никто не может раскрыть тайну

Число 6174 — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа 6174.

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа 2005. Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно 5200, минимальное — 0025 или 25 (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Читать полностью ‘Таинственное число 6174’ »

Числа Лишрел

"Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека" (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число 153; требуется всего две итерации.

Итерация Число Перестановка Сумма
1 153 + 351 = 504
2 504 + 405 = 909

Однако некоторые числа не становятся палиндромами вне зависимости от того, сколько сделано итераций записывания цифр в обратном порядке и сложения. Такие числа называются числами Лишрел. Они были названы так Уэйдом Ван Ландингхемом (Wade Van Landingham; Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил, по-английски Lychrel — Cheryl). Первое число, которое может быть числом Лишрел — 196. Однако нет доказательства, что это число, а также числа похожие на него, такие как 879 и 1997 в самом деле являются числами Лишрел. Просто процедура перестановки —сложения для них не привела к получению палиндрома, хотя было сделано около миллиарда итераций.

Читать полностью ‘Числа Лишрел’ »

Задачи городской олимпиады

Эти задачи были предложены ученикам 11 класса на городской олимпиаде по математике.

Задача 1. Найдите целые положительные числа a,b и c, для которых НОК(a,b)=210; НОД(a,b)=10; НОК(a,c)=110; НОД(a,c)=2. (Здесь НОК(u,v) — наименьшее общее кратное чисел u и v, т.е. наименьшее натуральное число, делящееся на u и на v, НОД(u,v) — наибольший общий делитель чисел u и v, т.е. наибольшее натуральное число, на которое делятся числа u и v.)

Показать решение

Задача 2. Для углов \alpha,\beta и \gamma справедливо неравенство

    \[\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge2.\]

Докажите, что тогда

    \[\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le\sqrt{5}.\]

Читать полностью ‘Задачи городской олимпиады’ »

Решение математической задачи с использованием физики

Скажу сразу, что идея использования физики в решении математических задач меня привлекает. В свое время на студенческой олимпиаде по математике в Санкт-Петербурге первыми оказались физики, которые решали олимпиадные задачи, применяя знание физики. Решения получились более простыми и быстрыми.

Эта задача по математике, предлагавшаяся шотландским школьникам, вызвала бурную дискуссию в Интернете.

Вот условие задачи на русском языке. Читать полностью ‘Решение математической задачи с использованием физики’ »

Еще две задачи из тестов

Здесь сказано, что эти задачи, как, впрочем, и известная задача о дне рождения Шерил, мало отношения имеют к математике. Это больше задачи на логику. Тем не менее, в Интернете все три задачи бурно обсуждались, и их появление способствовало усилению страха перед математикой.

Вьетнамская задача для третьеклассников

Расставьте числа от 1 до 9 в пустые клетки так, чтобы получился верный результат (: обозначает деление)

Читать полностью ‘Еще две задачи из тестов’ »

Еще логические задачи

В связи с интересом к задаче о дне рождения Шерил выкладываю еще две довольно интересные, на мой взгляд, логические задачи :-)

Тайные дары

— Красота? Смелость? Щедрость? Терпение? Мудрость? Что Вы хотите для новорожденной принцессы? — спросила Добрая фея короля-отца. Читать полностью ‘Еще логические задачи’ »