Тег «теория чисел»

Таинственное число 6174

Никто не может раскрыть тайну

Число 6174 — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа 6174.

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа 2005. Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно 5200, минимальное — 0025 или 25 (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Читать полностью ‘Таинственное число 6174’ »

Числа Лишрел

"Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека" (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число 153; требуется всего две итерации.

Итерация Число Перестановка Сумма
1 153 + 351 = 504
2 504 + 405 = 909

Однако некоторые числа не становятся палиндромами вне зависимости от того, сколько сделано итераций записывания цифр в обратном порядке и сложения. Такие числа называются числами Лишрел. Они были названы так Уэйдом Ван Ландингхемом (Wade Van Landingham; Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил, по-английски Lychrel — Cheryl). Первое число, которое может быть числом Лишрел — 196. Однако нет доказательства, что это число, а также числа похожие на него, такие как 879 и 1997 в самом деле являются числами Лишрел. Просто процедура перестановки —сложения для них не привела к получению палиндрома, хотя было сделано около миллиарда итераций.

Читать полностью ‘Числа Лишрел’ »

Рождественская лотерея 2013

Сегодня хочу предложить вам еще одну задачу, опубликованную накануне Рождества испанской газетой EL PAÍS. Представил эту задачу Хавьер Сиеруэло, профессор математики из Автономного университета Мадрида, сотрудник ICMAT — Института математических наук. Опять-таки, за лучшее решение давались прекрасные призы — книги по математике. Я повторяюсь, однако очень жаль, что у нас такого нет… Читать полностью ‘Рождественская лотерея 2013’ »

Внезапный прогресс в задаче о простых числах взбудоражил математиков

Эрика Кларрич

13 мая неизвестный математик — тот, чей талант был настолько не признан, что он подрабатывал в ресторане подземки, пытаясь свести концы с концами, — привлек внимание и получил одобрение математического сообщества за продвижение в давно стоящей задаче о простых числах, т.е. числах, делящиеся только на единицу и самих себя. Йитанг Чжан, читающий лекции в университете штата Нью-Гемпшир, показал, что даже при том, что простые числа встречаются все реже при движении в положительном направлении вдоль числовой прямой, существует бесконечно большое число пар простых чисел, отстоящих друг от друга не более, чем на 70 миллионов. Он впервые сумел найти конечную границу расстояний между простыми числами, что является важным шагом в доказательстве гипотезы простых чисел-близнецов, выдвинутой уже много веков назад. Эта гипотеза утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся только на два (таких как 11 и 13). Читать полностью ‘Внезапный прогресс в задаче о простых числах взбудоражил математиков’ »

Числа от 44 до 1000 девятью десятичными цифрами

Такая вот забавная статья обнаружилась на arxiv.org. Автор ее — в прошлом профессор математики федерального университета Санта-Катарины (Бразилия), Индир Ж. Таньеже. В ней приводится представление чисел от 44 до 1000 с помощью цифр 1,2,\ldots,9. Причем сделано это двумя способами: цифры располагаются в порядке возрастания, а затем в порядке убывания. Используются только операции сложения, умножения и возведения в степень. Не разрешается вычитать, делить и извлекать корни.

Читать полностью ‘Числа от 44 до 1000 девятью десятичными цифрами’ »

Последнюю теорему Ферма и даже больше можно доказать проще

Колин Макларти

Последняя теорема Ферма — о том, что некоторое простое уравнение не имеет решений — оставалась недоказанной в течение почти 350 лет, пока математик из Охфорда Эндрю Уайлс не доказал ее в 1995 году. Теперь, как показал Колин Макларти из Западного резервного университета Кейза, теорема может быть доказана проще.

Теорема называется последней теоремой Пьера де Ферма, потому что она была последней из его многочисленных гипотез, и она дольше всего оставалась непроверенной.

В 1630 году Ферма написал на полях старой греческой книги по математике, что он мог бы доказать, что никакие целые числа не удовлетворяют уравнению x^n +y^n = z^n при n большем 2.

Он также написал, что у него не хватает места на полях, чтобы привести доказательство. Мог ли Ферма в действительности доказать свою теорему или нет — вопрос дискуссионный, однако эта теорема стала самой известной в математике. Из поколения в поколение математики пытались найти ее доказательство и не могли этого сделать.

Так что когда Уайлс представил доказательство в 1995 году, “для многих из нас было шоком то, что теорема Ферма может быть доказана’’, — сказал Макларти. “И мы подумали о том. что будет дальше. Не было другой самой известной задачи ‘’. Читать полностью ‘Последнюю теорему Ферма и даже больше можно доказать проще’ »