Тег «средняя и старшая школа»

О вычислении арифметических корней

инж. С.В.Савич

Посвящаю
Виктору Ивановичу Поленякину,
Георгию Иосифовичу Кирьянову

В процессе решения практических расчётных задач довольно часто возникает необходимость вычисления корней разной степени. Обычно при программировании на ЭВМ для этой цели используются стандартные библиотечные функции вычисления логарифма и экспоненты или итерационные методы. Аналитические методы последовательных приближений, часто применяемые при вычислении арифметических корней, имеют универсальный характер, однако обладают некоторыми недостатками, одним из которых является зависимость времени вычисления от величины аргумента и от выбора первого приближения. Значительно лучшие характеристики при вычислении, например, квадратного корня, показывает метод, описанный в статье “Оригинальный метод извлечения квадратного корня” (www.hijos.ru/2012/04/25/), который можно отнести к группе методов “цифра за цифрой”. Особенность этого метода, основанного на свойстве суммы членов арифметической прогрессии нечётных чисел, заключается в получении на каждом циклически повторяющемся шаге одной верной цифры результата.

В ходе анализа данного метода возникла идея распространить его концепцию на процесс вычисления корней n-й степени, а также провести численное исследование получаемых алгоритмов. Основанием для такого подхода является то обстоятельство, что последовательность нечётных чисел, используемая для вычисления квадратного корня — это не только арифметическая прогрессия с шагом 2, но, — главное в этой идее, — также ряд первых конечных разностей (далее — конечные разности) для квадратичной функции с единичным шагом изменения аргумента.

Упомянем коротко метод “цифра за цифрой”, применяемый для “ручного” вычисления квадратного корня, заключающийся в том, что из подкоренного числа, разбитого на пары, в определённом порядке последовательно вычитается выражение (20A+B)\times B (здесь A — целое число, составленное из уже найденных цифр корня, B — искомая следующая цифра корня, определяемая подбором), при условии, чтобы значение этого выражения не превышало текущее уменьшаемое. Детально этот способ описан в учебной и справочной литературе, сейчас он имеет лишь историческое значение. Читать полностью ‘О вычислении арифметических корней’ »

Решение математической задачи с использованием физики

Скажу сразу, что идея использования физики в решении математических задач меня привлекает. В свое время на студенческой олимпиаде по математике в Санкт-Петербурге первыми оказались физики, которые решали олимпиадные задачи, применяя знание физики. Решения получились более простыми и быстрыми.

Эта задача по математике, предлагавшаяся шотландским школьникам, вызвала бурную дискуссию в Интернете.

Вот условие задачи на русском языке. Читать полностью ‘Решение математической задачи с использованием физики’ »

До свидания, математика и история

В школах Финляндии могут перестать проеподавать отдельные предметы.

Известно, что финская система школьного образования одна из самых лучших. Страна всегда занимает достаточно высокие места по математике, чтению и естественным наукам в престижных рейтингах PISA (2012 год, PDF), проводящихся Организацией экономического сотрудничества и развития. Учителя из других стран стекаются в финские школы, чтобы на месте познакомиться со страной, которая регулярно оценивается как просто по-настоящему прекрасное место для жизни.

Однако Финляндия не почивает на лаврах. В стране рассматривают возможность самой радикальной реформы базового образования — отказ от изучения отдельных предметов и переход к изучению явлений. Традиционные уроки, такие как английская литература и физика, уже поэтапно сокращаются у 16-летних учащихся в школах Хельсинки.

Вместо этого, финны изучают, например, Европейский союз, и сюда входит изучение языков, истории, политики и географии. Не более одного часа истории, за которым следует час химии. Идея направлена ​​на то, чтобы ответить на один из самых важных вопросов школьников всего мира: “Зачем мне знать об этом?” Теперь каждый объект изучения привязан к причине, по которой следует его изучать. Читать полностью ‘До свидания, математика и история’ »

Скачок Виета

В математике скачок Виета, известный также как отражение корней, — метод доказательства, используемый в теории чисел. Он наиболее часто применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое утверждение, связанное с этими числами. Есть несколько методов скачков Виета, но все они связаны общей идеей бесконечного спуска, позволяющей находить новые решения уравнения с использованием формул Виета.

История метода

Скачок Виета — относительно новый метод в решении математических олимпиадных задач. Первая задача, для решения которой он был использован, — задача Международной олимпиады по математике (ММО) 1988 г., она считается самой сложной из задач этой олимпиады. Артур Энгель (немецкий учитель математики, автор множества учебников, книг и статей по математике) написал о сложности этой задачи: Читать полностью ‘Скачок Виета’ »

Чудесный треугольник Блеза Паскаля

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно 10, потому что это сумма чисел 4 и 6.

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что 10 является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно 6.

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Читать полностью ‘Чудесный треугольник Блеза Паскаля’ »

Теорема Никомаха

Никомах — математик, философ, теоретик музыки, живший в первой половине второго века н.э. в Герасе (ныне Джераш на севере Иордании). О самом Никомахе сведений не имеется, однако до нас дошли его сочинения. При этом “Ввведение в арифметику” и “Руководство по гармонике” сохранились полностью.

Теорема (Никомах).

    \[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.\]

Читать полностью ‘Теорема Никомаха’ »