Тег «последовательности»

Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

    \[S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,\]

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

    \[S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots\]

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots\]

и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »

Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками

Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других? Могут ли они вообще быть связаны? Это мы сейчас увидим. Связь довольно интересная.

Прежде всего, давайте определим математические понятия. Хотя последовательность Фибоначчи и пифагоровы тройки хорошо известны, приведем их определения. Последовательность Фибоначчи определяется следующим образом:

    \[F_1=1,F_2=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\ \forall n\ge1\]

.

Читать полностью ‘Интересная связь между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками’ »

Интересная последовательность

Дэвид Борвейн

Джонатан Борвейн

Забавная последовательность, которая служит, на мой взгляд, прекрасным примером того, что нельзя пользоваться так называемой “неполной’’ (а вот меня учили называть ее “ослиной’’ :) ) индукцией. Разумеется, только полная математическая индукция дает верный результат!

Сначала вопрос. Скажите, пожалуйста, каким будет следующий член последовательности

    \[\displaystyle{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi \over 2},{\pi\over2},\ldots\]

Думаете, тоже

    \[\displaystyle\frac{\pi}{2}\]

? А вот и нет. Ответ такой:

    \[\displaystyle\frac{467807924713440738696537864469\pi}{9356158494406409073105221750000}\]

!

Он был интуитивно ясен с самого начала? Вовсе нет, конечно же. Читать полностью ‘Интересная последовательность’ »

Легко догадаться, трудно доказать

Вот еще одна нерешенная математическая задача, которая очень просто формулируется. Однако ее решение до сих пор неизвестно.

Будем выписывать простые числа по возрастанию:

    \[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37,41,\ldots\]

Теперь рассмотрим пары соседних членов этой последовательности:

    \[2\]

и

    \[3\]

,

    \[3\]

и

    \[5\]

,

    \[5\]

и

    \[7\]

,

    \[7\]

и

    \[11\]

и т.д. В каждой такой паре вычтем меньшее число из большего. Запишем полученные числа по порядку. Получим новую последовательность:

    \[1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6,2,6,4,\ldots\]

Для нее повторим то же самое (вычтем в каждой паре соседних чисел из большего числа меньшее):

    \[1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4,2,\ldots\]

Читать полностью ‘Легко догадаться, трудно доказать’ »

Гипотеза Коллатца, или числа-градины

Фрактал Коллатца (модификация отображения для натуральных чисел) в окрестности вещественной оси

Эта проблема названа в честь Лотара Коллатца, предложившего ее впервые в 1937 году. Она имеет много других названий, в частности, числа-градины, сиракузская последовательность, проблема

    \[3n+1\]

и др.). Задача эта имеет очень простую и доступную формулировку, однако до сих пор считается нерешенной.

Пол Эрдёш сказал по поводу гипотезы Коллатца: “Математика еще не готова к таким задачам’’. Он предложил также 500 долларов за ее решение.

В 2006 году Куртц и Симон, основываясь на работах Конвея 1970-х годов, доказали неразрешимость обобщенной гипотезы Коллатца, однако из этого не следует, что сама гипотеза недоказуема. Читать полностью ‘Гипотеза Коллатца, или числа-градины’ »