Тег «планиметрия»

Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса

Вячеслав Ларионов

E-mail: larionov.1939@mail.ru

Начнем с приближенного построения правильного 17-угольника, показанного ниже на рисунке (далее в тексте не будем повторять слово правильный, когда будет говориться о 17-угольнике). Центральный угол 17-угольника равен 1/17 части полного круга или 360^{\circ}/17\approx 21,176^{\circ}. В дальнейшем будем обозначать полный круг через (1)Ø, тогда центральный угол 17-угольника точно равен (1/17)Ø. Как видим, центральный угол 17-угольника отличается от угла 21^{\circ} менее чем на 0,18^{\circ}.

Реальные геометрические построения в принципе не могут быть абсолютно точными, и вполне достаточно, в качестве иллюстрации, построить угол 21^{\circ}. Этот угол можно построить с помощью транспортира или, пользуясь арифметикой углов в окружности, с помощью циркуля и линейки, имея в виду, что 21 = 12 + 9. Угол 12^{\circ} = (1/30)Ø равен разности (1/5)Ø -(1/6)Ø= 72^{\circ}-60^{\circ}, а угол 9^{\circ}=72^{\circ}/8.


Читать полностью ‘Апофема правильного 17-ти угольника, вписанного в окружность единичного радиуса’ »

Египетский треугольник складыванием бумаги

Если соединить вершины квадрата с серединами сторон, не примыкающих к этим вершинам (всего восемь отрезков), то получится многоугольник в форме звезды. В этом многоугольнике можно разглядеть египетский треугольник, то есть известный прямоугольный треугольник с соотношениями сторон 3:4:5.

Из рисунка слева видно, как получить такой треугольник, складывая бумагу.

В действительности таких треугольников всего 32, по 8 каждого типа BFA, GFE, CDE и HDA. Читать полностью ‘Египетский треугольник складыванием бумаги’ »

Теорема Наполеона

Наполеон Бонапарт

Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией. Бонапарт считается также автором задачи о делении на четыре равные части окружности с помощью одного лишь циркуля.

Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в “The Ladies’ Diary” в 1825 году, спустя 4 года после смерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец.

В различных источниках приводятся разные доказательства теоремы Наполеона. Чаще всего можно встретить доказательства, основанные на свойствах поворота или использующие комплексные числа. Привожу здесь доказательство, которое кажется мне наиболее простым и доступным для школьников. Все, что нужно для понимания его — знание теоремы косинусов. Читать полностью ‘Теорема Наполеона’ »

Формула Герона

Герон Александрийский

Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое.

К сожалению, в средние века многие его изобретения оказались никому не нужными.

Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек.

О Героне сняты мультфильмы. Один из них советский, 1979 года, “Герон’’, другой — 13-я серия из французского мультсериала, посвященная Герону, “Жили-были первооткрыватели. Герон Александрийский’’. Если честно, мультфильмы я вообще не очень люблю, а вот документальный фильм о Героне, “Древние открытия: удивительные машины. Герон’’, посмотрела с большим удовольствием. Вы можете его тоже посмотреть вот здесь: http://www.cinemaplayer.ru/29479-_drevnie_otkryitiya_udivitelnyie_mashinyi___Ancient_Discoveries_Surprising_Machines.html Читать полностью ‘Формула Герона’ »

Прямой угол

Эта довольно простая, но на мой взгляд, красивая задача была предложена участникам XIV математической олимпиады провинций (Olimpiada Provincial de Matemáticas) в Испании в 2006 году.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB=AC. Пусть точка D — середина стороны BC, M — середина отрезка AD и N — основание перпендикуляра, опущенного из D на BM. Докажите, что угол ANC прямой.

Читать полностью ‘Прямой угол’ »

И снова Фибоначчи

Лейб ШТЕЙНГАРЦ

доктор педагогики.

Иерусалим, Израиль

leybleyb@yahoo.com

И СНОВА ФИБОНАЧЧИ

Я хотел бы предложить две свои задачи про числа ФИБОНАЧЧИ. Задачи несложные, но все-таки попробуйте… Напомню, что числа ФИБОНАЧЧИ – это члены следующей последовательности:

    \[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .\]

В этой последовательности каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих.

ЗАДАЧА 1. Пусть a,b и c  — три произвольных различных числа Фибоначчи. Докажите, что невозможно построить треугольник, у которого длины сторон выражаются этими тремя числами.

Показать решение

ЗАДАЧА 2. Пусть a,b,c и d — четыре последовательных числа Фибоначчи.

(а) Докажите, что всегда можно построить четырехугольник, у которого длины сторон выражаются этими четырьмя числами.

Читать полностью ‘И снова Фибоначчи’ »