Тег «олимпиада»

Задачи городской олимпиады

Эти задачи были предложены ученикам 11 класса на городской олимпиаде по математике.

Задача 1. Найдите целые положительные числа a,b и c, для которых НОК(a,b)=210; НОД(a,b)=10; НОК(a,c)=110; НОД(a,c)=2. (Здесь НОК(u,v) — наименьшее общее кратное чисел u и v, т.е. наименьшее натуральное число, делящееся на u и на v, НОД(u,v) — наибольший общий делитель чисел u и v, т.е. наибольшее натуральное число, на которое делятся числа u и v.)

Показать решение

Задача 2. Для углов \alpha,\beta и \gamma справедливо неравенство

    \[\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge2.\]

Докажите, что тогда

    \[\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le\sqrt{5}.\]

Читать полностью ‘Задачи городской олимпиады’ »

Немного о ММО

В этом году Международная Математическая Олимпиада школьников прошла в Таиланде, в ней участвовали 600 школьников из 104 стран. Наши школьники выступили хуже, чем обычно, заняв в неофициальном командном зачете 8-е место (ранее ниже 6-го места Россия не опускалась). В этом году ребята не получили ни одной золотой медали… Ну и хуже всего они справились с третьей задачей (геометрия) и пятой (функциональное уравнение).

Теперь немного статистики. Как правило, в командах школьников на ММО мало девушек. Вот и в нашей команде в этом году девушек не было вообще. В команде США девушек тоже не было. Есть такие страны, в командах которых всегда были только юноши. Это Азербайджан, Северная Корея и Таджикистан.

Здесь приведено распределение стран по проценту команд, которые состояли исключительно из юношей:

Читать полностью ‘Немного о ММО’ »

Скачок Виета

В математике скачок Виета, известный также как отражение корней, — метод доказательства, используемый в теории чисел. Он наиболее часто применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое утверждение, связанное с этими числами. Есть несколько методов скачков Виета, но все они связаны общей идеей бесконечного спуска, позволяющей находить новые решения уравнения с использованием формул Виета.

История метода

Скачок Виета — относительно новый метод в решении математических олимпиадных задач. Первая задача, для решения которой он был использован, — задача Международной олимпиады по математике (ММО) 1988 г., она считается самой сложной из задач этой олимпиады. Артур Энгель (немецкий учитель математики, автор множества учебников, книг и статей по математике) написал о сложности этой задачи: Читать полностью ‘Скачок Виета’ »

L Олимпиада по математике, Испания, продолжение

Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.

4. Пусть \{ x_n\}_{n\ge 1} — последовательность натуральных чисел, такая что x_1=2 и x_{n+1}=2x_n^3+x_n для любого n\ge 1. Найдите, на какую наибольшую степень числа 5 делится x_{2014}^2+1. Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания, продолжение’ »

L Олимпиада по математике, Испания

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) 13, б) 14, в) 15? Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания’ »

Страна должна знать своих “героев” (с)

Тайное всегда становится явным… (c)

Живет в городе Сосновый Бор Ленинградской области Борис Степанович Новосельцев. Занимается он тем, что учит детей нашего города физике, астрономии и математике. И дети добиваются отличных результатов в олимпиадах школьников различного уровня по этим предметам. Есть даже призеры Всероссийской олимпиады. Все это очень хорошо, но только что случилась очень некрасивая история, связанная с олимпиадами и Б.С. Новосельцевым, которая и побудила меня написать эту статью.

Сначала немного о том, как проходит городская олимпиада школьников Санкт-Петербурга по физике. Эта олимпиада уровневая, ее дипломы засчитывают при поступлении в вузы. Олимпиада открытая, организаторы приглашают участвовать в олимпиаде детей из разных регионов страны. Правила проведения олимпиады выложены на ее сайте: http://physolymp.spb.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=616&Itemid=78. В этих правилах особо отмечено, что организатор олимпиады в регионе должен распространить информацию о ее проведении, чтобы в ней могли принять участие все желающие школьники. Еще написано, что задания олимпиады высылаются организаторам по электронной почте. Первый тур проверяется на местах организаторами. По его результатам определяются прошедшие на второй тур. Второй тур пишется также по месту жительства, но работы отправляются на проверку в Санкт-Петербург. И уже по результатам этой проверки выдаются дипломы и грамоты олимпиады первого уровня. Все это очень важные моменты, которые необходимы для понимания того, что произошло. Читать полностью ‘Страна должна знать своих “героев” (с)’ »