Тег «мат. анализ»

Правило Лопиталя или правило Бернулли?

Любой студент вуза, в котором изучается математика, должен знать имя Лопиталя и его знаменитые правила для вычисления пределов вида \displaystyle\frac{0}{0}. В частности, правило Лопиталя гласит, что для двух данных функций f(x) и g(x), непрерывных и  дифференцируемых в точке x=c, таких, что f(c)=0,g(c)=0, предел при x, стремящемся  к c, отношения f(x)/g(x) равен пределу при x\to c отношения производных

    \[\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)},\]

при условии, что этот предел существует. Сказанное может показаться сложноватым для непосвященных, однако математическая запись этого достаточно проста:

    \[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\]

при условиях, о которых написано выше. Читать полностью ‘Правило Лопиталя или правило Бернулли?’ »

Интересная последовательность

Дэвид Борвейн

Джонатан Борвейн

Забавная последовательность, которая служит, на мой взгляд, прекрасным примером того, что нельзя пользоваться так называемой “неполной’’ (а вот меня учили называть ее “ослиной’’ :) ) индукцией. Разумеется, только полная математическая индукция дает верный результат!

Сначала вопрос. Скажите, пожалуйста, каким будет следующий член последовательности

    \[{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi\over2},{\pi \over 2},{\pi\over2},\ldots\]

Думаете, тоже \displaystyle\frac{\pi}{2}? А вот и нет. Ответ такой:

    \[\frac{467807924713440738696537864469\pi}{9356158494406409073105221750000}!\]

Он был интуитивно ясен с самого начала? Вовсе нет, конечно же. Читать полностью ‘Интересная последовательность’ »

История переоткрытия правила трапеций

И так бывает… Правило трапеций — метод приближенного интегрирования, который проходят на первом курсе практически любого вуза, в котором изучается математика. Еще немного о научном журнале, о котором пойдет речь. Журнал Diabetes Care (Лечение диабета) — по всем параметрам очень хороший журнал. Я посмотрела его импакт-фактор (численный показатель важности журнала, который рассчитывается, исходя из цитируемости статей, опубликованных в данном журнале, другими изданиями). Чем выше импакт-фактор, тем лучше журнал, тем престижнее публикация в нем. Так вот, импакт-фактор Diabetes Care 6.718, это очень высокий импакт-фактор. Вряд ли какой-то российский журнал может похвастаться таким же. Ну а математических журналов с таким импакт-фактором, наверное, в природе вообще не существует. Для них если он больше 1, то это уже очень хорошо. Все это преамбула для того, чтобы было понятно, о чем пойдет речь в дальнейшем. Читать полностью ‘История переоткрытия правила трапеций’ »

Основы математического анализа

В XVIII веке дифференциальное исчисление Ньютона и Лейбница было развито братьями Бернулли и Леонардом Эйлером (1707-1783) в Швейцарии. В частности, Эйлер разработал современный подход к логарифмам и экспонентам. Дифференциальное исчисление было использовано для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, распространено на функции многих переменных и использовалось для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Эти методы были применены во многих областях физики. Методология и расчеты были важны, а строгость игнорировалась.

В частности, дифференциалами манипулировали как бесконечно малыми величинами, интегралы вычислялись как первообразные, и сходимость бесконечных рядов игнорировалась. Тем не менее ведущие математики имели хорошую интуицию и редко допускали ошибки в вычислениях.

В 1734 году ирландский философ епископ Джордж Беркли (1685-1753) опубликовал работу Analyst or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (студенту Ньютона, астроному Эдмунду Галлею). Он нападал на применяющих математический анализ за то, что они: Читать полностью ‘Основы математического анализа’ »

“О” большое и связанные с ним обозначения

Пауль Бахман

Эдмунд Ландау

Здесь Вы найдете различные общепринятые обозначения (“О” большое и связанные с ним обозначения), введенные Паулем Бахманом и Эдмундом Ландау.

Бесконечные пределы

Самым распространенным случаем является употребление этих обозначений при x\to\infty. Мы сначала рассмотрим именно это.

Обозначение f(x)=O(g(x)) при x\to\infty означает, что при достаточно больших x функция f(x) удовлетворяет условию |f(x)|\le c|g(x)|, где c — некоторая положительная постоянная.

Точнее, f(x)=O(g(x)) при x\to\infty, если существуют такие положительные постоянные m и c, что |f(x)|\le c|g(x)| для всех x, которые удовлетворяют условию x> m. Читать полностью ‘“О” большое и связанные с ним обозначения’ »

Найдите ошибку: правило Лопиталя

Гийом Франсуа Лопиталь

Вот такой вот софизм. Математический анализ, правило Лопиталя. Думаю, многие хорошо его знают. В самом деле хорошо? Давайте посмотрим.

Требуется найти предел

    \[\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+\sin x}{x^2} .\]

Как видите, это неопределенность вида \displaystyle\frac{\infty}{\infty}. Действуем по правилу Лопиталя и дифференцируем числитель и знаменатель. Читать полностью ‘Найдите ошибку: правило Лопиталя’ »