Тег «мат. анализ»

Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots

и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »

Бесконечность или -1/12?

Дэвид Берман, Марианна Фрейбергер

Недавно обсуждался очень странный результат. Утверждается, что, когда вы сложите все натуральные числа

1 +2 +3 +4 + \ldots,

то сумма будет равна -1/12. Данная идея демонстрируется в видео Numberphile, где утверждается, что результат доказан, а также рассказывается, что он повсеместно используется в физике. Данная идея так поразила людей, что она даже попала в “Нью-Йорк Таймс’’. Итак, что же все это значит? Читать полностью ‘Бесконечность или -1/12?’ »

Теорема о промежуточном значении в геометрических задачах

Первое объявление: “Лифт поднимается только на третий этаж (минуя второй).

Второе объявление: “Это невозможно. Подпись: Больцано”.


Сначала приведем формулировку теоремы Больцано — Коши, или теоремы о промежуточном значении — важного свойства вещественных непрерывных функций. Читать полностью ‘Теорема о промежуточном значении в геометрических задачах’ »

Элементарное доказательство иррациональности числа e

Конечно же, “элементарность’’ данного доказательства относительна. Однако оно должно быть понятно студенту первого курса вуза, изучающему высшую математику.

Будем доказывать от противного. Предположим, что

\displaystyle e=\frac{a}{b},

где a и b — натуральные числа. Читать полностью ‘Элементарное доказательство иррациональности числа e’ »

Функция Римана

Функция Римана на промежутке от 0 до 1

Эта функция имеет и много других названий: функция Томе (примеч. Carl Johannes Thomae (1840 – 1921) — немецкий математик), модифицированная функция Дирихле, поп-корн (popcorn) функция, функция дождевых капель (raindrop), функция счетных облаков (countable cloud), функция линейки (ruler) или Звезды над Вавилоном (Stars over Babylon).

Функция Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках. Эта вещественнозначная функция одной переменной определяется так:

t(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\frac{1}{q}, \displaystyle if\ x=\frac{p}{q},\ p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N},\\[4mm]<br />
0,if\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}<br />
\end{array}\right.

(здесь дробь p/q несократима). Читать полностью ‘Функция Римана’ »

А что, если поменять точку зрения…

Лейб ШТЕЙНГАРЦ
доктор педагогики.
Иерусалим, Израиль
leybleyb@yahoo.com

А ЧТО, ЕСЛИ ПОМЕНЯТЬ ТОЧКУ ЗРЕНИЯ . . .
или построение функции со всюду плотным графиком

В математике давно известны функции с удивительным свойством: их график всюду плотен на плоскости.

В связи с этим такие функции часто называют “странными”, “экзотическими”, “дикими” и т.п.

Построения таких функций известны специалистам-математикам, но почти не знакомы “широкой публике”. Например, школьникам. Ведь те построения, которые приводятся в литературе (см., например [1] и [2]) очень громоздки и требуют серьезной математической подготовки.

Нам удалось найти совершенно элементарное доказательство существования таких функций, с которым мы хотим вас познакомить. Читать полностью ‘А что, если поменять точку зрения…’ »