Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами
Лучано Рила
Гвидо Гранди (1671--1742)
Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму
Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).
Если сгруппировать слагаемые следующим образом
то легко увидеть, что 
должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:
В этом случае должно должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде
Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза
и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »
,
. Данная идея демонстрируется в видео 
, 
и 
— натуральные числа. 
![t(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\frac{1}{q}, \displaystyle if\ x=\frac{p}{q},\ p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N},\\[4mm]<br />
0,if\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}<br />
\end{array}\right.](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-92d23f10e707387cbca15bf8226fa063.gif "t(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\frac{1}{q}, \displaystyle if\ x=\frac{p}{q},\ p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N},\\[4mm]<br />
0,if\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}<br />
\end{array}\right.")
несократима). 
