Тег «линейная алгебра»

Крамер и его знаменитое правило

Габриэль Крамер

Габриэль Крамер (1704–1752) — швейцарский математик, ученик Иоганна Бернулли, один из основателей линейной алгебры.

Габриэль Крамер родился в Женеве в семье врача. В 18 лет он получил степень доктора, написав работу по теории звука. Через два года после этого он участвовал в конкурсе на место преподавателя на кафедре философии университета Женевы. На данное место претендовали три человека, все претенденты были достойные. Тогда поделили данное место на два: место на кафедре философии и место на кафедре математики. Место на кафедре математики разделили Крамер и Каландрини. Им было предложено по очереди путешествовать 2-3 года. В то время как один из них путешествует, второй должен исполнять все обязанности полностью и получать полное жалованье. Крамер и Каландрини поделили между собой математические курсы, которые они должны были преподавать. Крамер учил геометрии и механике, Каландрини – алгебре и астрономии. Крамер предложил учить студентов на французском языке вместо принятой тогда латыни, чтобы дать возможность обучаться имевшим способности к математике, но не знавшим латыни студентам. Это было принято университетом. В 1727 году Крамер отправляется в путешествие по Европе. В Базеле он в течение двух месяцев работает вместе с Иоганном Бернулли и Эйлером, в Лондоне встречается с Галлеем, де Муавром, Стирлингом и другими математиками, в Париже – с Мопертюи, Буффоном, Клеро, Фонтенелем и др. Дискуссии с ними и переписка в течение всей жизни оказали большое внимание на Крамера. В 1729 г. Крамер возвращается в Женеву и в 1730 г. борется за приз Парижской Академии наук, отвечая на вопрос “Какова причина эллиптической орбиты планет и движения их афелия?” Выиграл приз Иоганн Бернулли, Крамер был вторым. В 1734 г. “близнецы” разделяются. Каландрини переходит на кафедру философии, а Крамер один остается на кафедре математики. Крамер живет насыщенной жизнью. Он не только преподает и ведет переписку со многими математиками, но и пишет научные статьи, представляющие значительный интерес, хотя они и уступают статьям ведущих математиков, с которыми он переписывается. Он публикует статьи в различных журналах, например, в Записках Парижской Академии в 1734 г., Берлинской Академии в 1748, Читать полностью ‘Крамер и его знаменитое правило’ »

Теория графов и коммуникация

Джон Робинсон Пирс

В начале 70-х годов прошлого века Джон Пирс предложил коммуникационную сеть, состоящую из соединенных между сосбой в различных точках направленных циклов. Чтобы сообщение попало из исходной точки одного цикла в точку назначения на другом цикле, необходимо было понять, в каких точках нужно переходить на следующие циклы.

Рональд Грэм и Генри Поллак предложили считать каждый цикл вершиной графа, которую отмечали последовательностью символов из алфавита

    \[\{0,1,*\}\]

таким образом, чтобы расстояние Хэмминга между строками соответствовало расстояниям в графе. Тогда переходить на другой цикл следовало, когда адрес нового цикла имел меньшее расстояние Хэмминга до точки назначения. Читать полностью ‘Теория графов и коммуникация’ »

Красота – редкая вещь

Здесь мы будем рассматривать графы. Напомним, что степенью вершины графа называется количество ребер, инцидентных этой вершине. Граф называется регулярным, если все его вершины имеют одинаковую степень. Обхватом графа называется наименьшая длина цикла в этом графе.

Рассмотрим графы обхвата 5. Какое наименьшее число вершин может иметь данный граф, если степень каждой его вершины равна

    \[r\]

?

Возьмем вершину

    \[u\]

. У нее

    \[r\]

смежных вершин. Каждая из этих вершин имеет еще

    \[r-1\]

смежную вершину. Итак, имеем

    \[1+r+r(r-1)=r^2+1\]

вершин. Они все должны быть различными, иначе появится цикл длины

    \[\le 4\]

.

Возникает естественный вопрос: нужны ли нам еще вершины? Давайте посмотрим. Для

    \[r=2\]

имеем

    \[r^2+1=5\]

, и получаем пятиугольник, один цикл длины 5. Для

    \[r=3\]

имеем

    \[r^2+1=10\]

вершин. Это опять-таки возможно. Такой граф единственен, и это граф Петерсена, который воистину замечателен большим количеством симметрий, или автоморфизмов (их 120):

Читать полностью ‘Красота – редкая вещь’ »

Третья проблема Гильберта

8 августа 1900 г. на II Международном Конгрессе математиков в Париже немецкий математик Давид Гильберт предложил 23 задачи, обсуждение которых могло содействовать прогрессу науки. Третьей среди этих задач была задача о равносоставленности правильного тетраэдра и куба.

Начнем с плоского аналога данной задачи.

Можно ли правильный треугольник разрезать прямыми разрезами на части так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат?

Знаменитый английский изобретатель головоломок Г.Э. Дьюдени в 1902 г. придумал, как можно разрезать треугольник на 4 части:

Для пространства задача формулируется следующим образом. Читать полностью ‘Третья проблема Гильберта’ »

Одна комбинаторная задача

Интересная комбинаторная задача из книги
László Babai, Péter Frankl, Linear Algebra Methods in Combinatorics with Applications to Geometry and Computer Science, Preliminary Version 2 (September 1992), The University of Chicago.

В городе

    \[n\]

жителей. Они любят создавать клубы, маленькие и большие, это основная их деятельность. В городе изданы законы, регулирующие образование таких клубов:

1) В каждом клубе может быть только нечетное число членов.
2) Каждые два клуба имеют четное число общих членов.

Какое максимальное число различных клубов может быть создано в этом городе?

Довольно простое и красивое решение этой задачи получается, если воспользоваться методами линейной алгебры. Читать полностью ‘Одна комбинаторная задача’ »