Тег «геометрия»

Кривые Гильберта

Кривые Гильберта названы в честь немецкого математика Давида Гильберта. Впервые они были описаны в 1891 году.

Кривая Гильберта — это непрерывная кривая, заполняющая пространство. Эти кривые также являются фракталами, они самоподобны; если вы увеличите масштаб и внимательно посмотрите на часть кривой более высокого порядка, то вы увидите, что она выглядит так же, как сама кривая.

Самый простой способ понять, как строится кривая Гильберта, следующий. Представьте, что у вас есть длинный кусок веревки и вы хотите расположить веревку на плоской сетке с квадратными ячейками. Ваша цель состоит в том, чтобы веревка пересекала стороны каждого квадрата сетки ровно один раз. Читать полностью ‘Кривые Гильберта’ »

Снова две задачи

Предлагаю вам две интересные задачи, взятые с сайта gaussianos.com.

Задача 1. Пусть ABCD — параллелограмм с тупым углом при вершине A. Пусть P — точка на диагонали BD параллелограмма, такая что окружность с центром в P, проходящая через A, пересекает прямую AD в точках A и Y, а прямую AB — в точках A и X. Прямая AP пересекает прямую BC в точке Q, а прямую CD — в точке R. Докажите, что

    \[\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY.\]

Читать полностью ‘Снова две задачи’ »

Клотоида — кривая, отвечающая за вашу безопасность на автомобильных и железных дорогах

Первые автомобильные и железные дороги имели вид прямолинейных участков, соединенных дугами окружностей. Но когда автомобили и поезда начали двигаться на более высоких скоростях, при въезде на криволинейные участки возникал неудобный и опасный толчок. Инженеры начали искать решение проблемы и нашли его в математике и физике. Хотите простое объяснение, почему в качестве переходной кривой используется клотоида?

Представьте, что вы должны спроектировать шоссе или высокоскоростную железную дорогу. Вы, конечно, постараетесь, чтобы она была как можно более прямой, но должны будут появиться и некоторые криволинейные участки. Так как самой простой кривой из всех является окружность, то легче всего прямые участки соединить между собой дугами окружностей. Что-то вроде ленты транспортера.

Кажется, что такими были первые чертежи, и так как первые автомобили и поезда не двигались слишком быстро, все шло гладко. Но все изменилось, когда транспортные средства смогли достичь более высоких скоростей. При входе в криволинейные участки, на стыках между секциями, появился внезапный толчок. Плохо дело. Читать полностью ‘Клотоида — кривая, отвечающая за вашу безопасность на автомобильных и железных дорогах’ »

Геометрические скульптуры

Профессор Беркли пробует себя в математическом искусстве (и обратно)

Карло Сейкин живет в мире невозможных объектов и потрясающих форм. Посещение кабинета почетного профессора информатики похоже на путешествие вниз по кроличьей норе. Парадоксальные тела встречаются в каждом его уголке, лежат на полках, стоят на пьедесталах, свисают с потолка — оптические иллюзии, воплощенные в бумаге, картоне, пластике и металле. Читать полностью ‘Геометрические скульптуры’ »

Аксиома Паша

Мориц Паш родился в 1843 году в Бреслау (Германия), ныне город Вроцлав в Польше. В 1860 году закончил гимназию в Бреслау и поступил там же в университет, где учился у Генриха Шрётера, Фердинанда Йоахимшталя и Рудольфа Липшица. В 1865 году он закончил университет, получив докторскую степень. После этого он учился в университете Берлина у Вейерштрасса и Кронекера. В 1866 году умер его отец, и Паш должен был оставить работу над диссертацией, чтобы помочь семье. Однако в 1870 году он представил свою диссертацию в университет Юстуса Либиха в Гессене. В 1873 году он стал там внештатным профессором, а через два года — профессором, после того как отверг аналогичное предложение в Бреслау. Работал Паш над основаниями геометрии. Он также принимал участие в управлении университетом. Уйдя в отставку в 1911 году, он продолжал жить в Гессене. Умер Мориц Паш в 1930 году. Читать полностью ‘Аксиома Паша’ »

Парадокс Банаха — Тарского

Знаете ли вы, что можно разрезать шар на пять частей, из которых складывают, не растягивая их, два шара того же радиуса, что и исходный?

Эта теорема известна как парадокс Банаха — Тарского.

Так почему же мы не можем сделать это в реальной жизни, скажем, с шаром из золота? Проблема в том, что сделать это можно только с материалом, который делúм до бесконечности, чего нет в действительности. Необходимые части настолько экзотические, что у них нет меры, или объема. Парадокс Банаха — Тарского говорит о том, что как бы мы ни определяли объем, всегда найдутся множества, которые не имеют объема (неизмеримые множества), или же приведенный выше пример покажет, что 2=1Читать полностью ‘Парадокс Банаха — Тарского’ »