Тег «алгебра»

Математическое доказательство размером с Википедию слишком большое, чтобы люди могли его проверить

Борис Конев и Алексей Лисица

Если ни один человек не может проверить доказательство теоремы, действительно ли это может считаться математикой? Этот интересный вопрос возник в связи с недавним доказательством, полученным с помощью компьютера. Оно столь же велико, как все содержание Википедии, поэтому маловероятно, что его когда-нибудь сможет проверить человек. Читать полностью ‘Математическое доказательство размером с Википедию слишком большое, чтобы люди могли его проверить’ »

Снова две задачи

Предлагаю вам две интересные задачи, взятые с сайта gaussianos.com.

Задача 1. Пусть ABCD — параллелограмм с тупым углом при вершине A. Пусть P — точка на диагонали BD параллелограмма, такая что окружность с центром в P, проходящая через A, пересекает прямую AD в точках A и Y, а прямую AB — в точках A и X. Прямая AP пересекает прямую BC в точке Q, а прямую CD — в точке R. Докажите, что

    \[\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY.\]

Читать полностью ‘Снова две задачи’ »

Детям не давать! :)

Такое вот предисловие к учебнику по алгебре XIX века ;) Перевод ниже.

Читать полностью ‘Детям не давать! :) ’ »

Теорема (звезда Давида)

Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел {\sf C}_n^k.

Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел {\sf C}_{n-1}^k,{\sf C}_{n}^{k-1} и {\sf C}_{n+1}^{k+1} равен наибольшему общему делителю чисел {\sf C}_{n-1}^{k-1},{\sf C}_{n}^{k+1} и {\sf C}_{n+1}^{k}.

Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.

Например, если n=4 и k=2, теорема утверждает, что наибольший общий делитель {\sf C}_3^2,{\sf C}_4^1 и {\sf C}_5^3 равен наибольшему общему делителю {\sf C}_3^1,{\sf C}_4^3 и {\sf C}_5^2. Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД(3,4,10), который равен 1. Давайте рассмотрим другой пример. Читать полностью ‘Теорема (звезда Давида)’ »

Внезапный прогресс в задаче о простых числах взбудоражил математиков

Эрика Кларрич

13 мая неизвестный математик — тот, чей талант был настолько не признан, что он подрабатывал в ресторане подземки, пытаясь свести концы с концами, — привлек внимание и получил одобрение математического сообщества за продвижение в давно стоящей задаче о простых числах, т.е. числах, делящиеся только на единицу и самих себя. Йитанг Чжан, читающий лекции в университете штата Нью-Гемпшир, показал, что даже при том, что простые числа встречаются все реже при движении в положительном направлении вдоль числовой прямой, существует бесконечно большое число пар простых чисел, отстоящих друг от друга не более, чем на 70 миллионов. Он впервые сумел найти конечную границу расстояний между простыми числами, что является важным шагом в доказательстве гипотезы простых чисел-близнецов, выдвинутой уже много веков назад. Эта гипотеза утверждает, что существует бесконечно много пар простых чисел, отличающихся только на два (таких как 11 и 13). Читать полностью ‘Внезапный прогресс в задаче о простых числах взбудоражил математиков’ »

Где и когда появились символы “+’’ и “-”?

Первое использование знаков + и - в печати в Behëde und Johannes Widman auff allen Kauffmanschafft, Аугсбург, 1526 г.

Марио Ливио

Символы для арифметических операций сложения (плюс “+’’) и вычитания (минус “-‘’) встречаются настолько часто, что мы почти никогда не задумываемся о том, что они существовали не всегда. В самом деле, кто-то должен был изобрести эти символы (или по крайней мере другие, которые впоследствии превратилась в те, которые мы используем сегодня). Наверняка также прошло некоторое время, прежде чем данные символы стали общепринятыми. Когда я начал изучать историю этих знаков, я обнаружил, к своему удивлению, что они появились вовсе не в глубокой древности. Многое из того, что нам известно, происходит из всеобъемлющего и впечатляющего исследования 1928–1929 гг., которое до сих пор остается непревзойденным. Это “История математических обозначений’’ швейцарско-американского историка математики Флориана Каджори (1859-1930).

Древние греки обозначали сложение записью рядом, но время от времени использовали для этого символ косой черты “/’’ и полу-эллиптическую кривую для вычитания. В знаменитом египетском папирусе Ахмеса пара ног, идущих вперед, обозначает сложение, а уходящих — вычитание. Индусы, как и греки, обычно никак не обозначали сложение, кроме того, что символы “yu’’ были использованы в рукописи Бахшали “Арифметика’’ (вероятно, это третий или четвертый век). В конце пятнадцатого века французский математик Шике (1484 г.) и итальянский Пачоли (1494 г.) использовали “\bar{p}’’ или “p’’ (обозначая “плюс’’) для сложения и “\tilde{m}’’ или “m’’ (обозначая “минус’’) для вычитания.

Несколько сомнительно, но считается, что наш знак + происходит от одной из форм слова “et’’, которое значит “и’’ по-латыни. Первым человеком, который, возможно, использовал знак + как аббревиатуру для et, был астроном Николь д’Орем (автор книги “The Book of the Sky and the World’’ — “Книги неба и мира’’) в середине четырнадцатого века. Рукопись 1417 г. также содержит символ + (хотя палочка, направленная сверху вниз, не совсем вертикальна). И это тоже потомок одной из форм et. Читать полностью ‘Где и когда появились символы “+’’ и “-”?’ »