Тег «алгебра»

Роберт Бош: портрет Фибоначчи

“Математик во мне очарован теми различными действиями, которые в задачах оптимизации оказывают ограничения: иногда они делают задачи гораздо более трудными, а иногда гораздо более простыми. А художник во мне очарован действием ограничений в искусстве. Все художники должны иметь дело с ограничениями, и многие из них предпочитают наложить эти ограничения на себя. О выгоде от этого хорошо сказал Джозеф Хеллер (перефразируя Т. С. Элиота): “Если кто-то вынужден писать, поставив себя в определенные рамки, воображение до предела облагается налогом и оно будет выдавать наилучшие идеи”. ”

Филлотактический портрет Фибоначчи 18x18. Цифровая печать на холсте, 2013.

Читать полностью ‘Роберт Бош: портрет Фибоначчи’ »

Чудесный треугольник Блеза Паскаля

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно 10, потому что это сумма чисел 4 и 6.

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что 10 является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно 6.

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Читать полностью ‘Чудесный треугольник Блеза Паскаля’ »

Теорема Никомаха

Никомах — математик, философ, теоретик музыки, живший в первой половине второго века н.э. в Герасе (ныне Джераш на севере Иордании). О самом Никомахе сведений не имеется, однако до нас дошли его сочинения. При этом “Ввведение в арифметику” и “Руководство по гармонике” сохранились полностью.

Теорема (Никомах).

    \[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.\]

Читать полностью ‘Теорема Никомаха’ »

Определитель Смита

Генри Джон Стивен Смит (1826–1883) — английский математик, известный прежде всего своими работами по элементарным делителям, квадратичным формам и формулой Смита — Минковского — Зигеля для масс. В теории матриц используется нормальная форма Смита для матрицы.

Определитель Смита имеет вид

    \[D=\left|\begin{array}{ccccc} (1,1)&(1,2)&(1,3)&\ldots&(1,n)\\ (2,1)&(2,2)&(2,3)&\ldots&(2,n)\\ (3,1)&(3,2)&(3,3)&\ldots&(3,n)\\ \ldots&&&&\\ (n,1)&(n,2)&(n,3)&\ldots&(n,n) \end{array}\right|,\]

где (i,j) обозначает наибольший общий делитель чисел i и j.

А равен этот определитель довольно красивой величине:

    \[D=\varphi(1)\varphi(2)\varphi(3)\ldots\varphi(n),\]

Читать полностью ‘Определитель Смита’ »

О совершенных числах и величинах, обратным их делителям


Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, равна 2. Например, для числа 28, имеем

    \[\frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{7} +\frac{1}{14} +\frac{1}{28}= 2.\]

Сейчас мы докажем это простое свойство. Но сначала вспомним определение.

Определение. Число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей (т.е. всех своих делителей за исключением самого себя). Читать полностью ‘О совершенных числах и величинах, обратным их делителям’ »

Наглядное доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

Хорошо известно, что среднее геометрическое двух неотрицательных чисел всегда не больше их среднего арифметического:

    \[\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}.\]

Алгебраическое доказательство этого факта и его обобщение на n чисел приведены здесь.

Однако данное неравенство можно доказывать разными способами. Приведем здесь его геометрическое доказательство. В дальнейшем m обозначает среднее арифметическое чисел x и y, а g — их среднее геометрическое.

Читать полностью ‘Наглядное доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим’ »