О совершенных числах и величинах, обратным их делителям


Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, равна 2. Например, для числа 28, имеем

\displaystyle \frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{7} +\frac{1}{14} +\frac{1}{28}= 2.

Сейчас мы докажем это простое свойство. Но сначала вспомним определение.

Определение. Число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей (т.е. всех своих делителей за исключением самого себя). Читать полностью ‘О совершенных числах и величинах, обратным их делителям’ »

С Рождеством Христовым: шары и звезда

Приближается католическое Рождество (да и Новый год, и наше Рождество тоже не за горами :-) ). И Тито Элиатрон в своем блоге поздравляет всех с наступающим праздником. Также он предлагает отвлечься от сопутствующих Рождеству совершенно не христианских чревоугодия и алчности и поиграть в интересную математическую игру. Игра эта называется “шары и звезда’’.

Читать полностью ‘С Рождеством Христовым: шары и звезда’ »

Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots

и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »

Грядущей сессии посвящается :-)

Экзамен — это разговор двух умных людей. А если один из них дурак, то второй останется без стипендии. Читать полностью ‘Грядущей сессии посвящается :-) ’ »

Ада Лавлейс (1815-1852), графиня-математик

Ада Лавлейс

Попробуйте представить себе человека, который программирует на компьютере. Получилось? Более чем вероятно, что вы представили себе сравнительно молодого и не слишком общительного парня, не так ли?

Каким бы парадоксальным это ни казалось, но несмотря на существование такого стереотипа (несправедливого, как это часто бывает с обобщениями), человеком, считающимся первым программистом, была женщина — Ада Лавлейс. Кроме того, она была дочерью одного из величайших поэтов в истории — лорда Байрона.

Августа Ада Байрон (в замужестве Кинг), единственная законнорожденная дочь английского поэта лорда Байрона, получила титул графини Лавлейс в 1838 году, когда ее муж Уильям Кинг унаследовал титул графа Лавлейс.

В истории вычислительной техники Ада Лавлейс часто упоминается вместе с другим человеком: Чарльзом Бэббиджем, который считается отцом вычислений за изобретение механического калькулятора и, прежде всего, проект (хотя и не воплощенный в жизнь) так называемой аналитической машины. Эта машина, по идее Бэббиджа, могла быть запрограммирована для выполнения каких-либо вычислений. Таким образом, она была чем-то вроде предка современных компьютеров.

Но давайте вернемся к нашей героине. Ада и Бэббидж встретились благодаря общему другу, Мэри Сомервилль, и с этого момента между ними началась интенсивная переписка. Бэббидж был настолько впечатлен способностями Ады, что в 1842 воспользовался ее услугами. На французском языке была опубликована работа итальянского военного инженера Луи Фредерико Менабреа об аналитической машине, и Бэббидж хотел, чтобы Ада перевела эту работу на английский язык. Ада не только перевела работу, но и снабдила ее собственными обширными комментариями. Эти замечания, которые по объему оказались в три раза больше самой работы, в результате содержали то, что сегодня считается первой компьютерной программой. Читать полностью ‘Ада Лавлейс (1815-1852), графиня-математик’ »

Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера

Мартин Гарднер

1. Безумный разрез

Вы должны сделать один разрез (или нарисовать линию) — конечно, это не обязательно должна быть прямая — которая разделит фигуру на две одинаковые части. Читать полностью ‘Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера’ »