Математическая тайна древней вавилонской глиняной таблички

Ученые в Сиднее выяснили, что написано на знаменитой вавилонской глиняной табличке Plimpton 322, которой 3700 лет. Оказалось, что эти записи — старейшая в мире и наиболее точная тригонометрическая таблица. Возможно, ее использовали древние математики для расчетов при возведении дворцов, храмов и постройке каналов.

Читать полностью ‘Математическая тайна древней вавилонской глиняной таблички’ »

Я ненавижу алгебру

Текст старый, бредовый, из неизвестного источника. Просьба не воспринимать его серьезно :-)

Если вы хотите вернуться в старые добрые времена… вспомните алгебру.

В нью-йоркском аэропорту Кеннеди сегодня был задержан человек, пытавшийся пройти на посадку в самолет. Позже он был признан школьным учителем. При себе он имел линейку, транспортир, логарифмическую линейку и калькулятор.

На утренней пресс-конференции генеральный прокурор США сообщил, что он считает задержанного членом известного движения аль-гебры. Он обвиняется ФБР в том, что является носителем оружия из математических команд. «Аль-гебра — страшный культ», — заявил прокурор. «Они ищут средние решения с помощью моментов и экстремумов, а иногда поносят касательные в поисках абсолютных значений. Они используют секретные кодовые наименования, такие как «x» и «y» и называют их «неизвестными», но мы выяснили, что они принадлежат общему знаменателю оси средневековья с координатами в каждой стране. Как утверждал греческий распутник Равнобокис, у каждого треугольника три стороны».

Читать полностью ‘Я ненавижу алгебру’ »

Любовь и дифференциальные уравнения

Стивен Строгац

Цель этой заметки — предложить необычный подход к объяснению стандартного материала, касающегося системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Данный подход связывает математику с тем, что близко для многих студентов: изменение любовных отношений между двумя людьми с течением времени. Видимо, студентам нравится такое объяснение материала, и они с удовольствием участвуют в написании, решении уравнений и интерпретации полученных результатов.
Суть идеи становится ясной из следующего примера.

Джульетта любит Ромео, но в нашей версии этой истории Ромео является непостоянным. Чем больше Джульетта любит его, тем меньше она ему нравится. Но когда она теряет к нему интерес, это подогревает его чувства к ней. Она, с другой стороны, ведет себя подобно ему: ее любовь возрастает, когда он любит ее, и она начинает его ненавидеть, когда он ненавидит ее.

Простая модель их отношений выглядит следующим образом:

    \[\frac {dr} {dt}=-aj, \qquad \frac {dj} {dt}=br,\]

где r(t) — любовь/ненависть Ромео к Джульетте в момент времени t,
j(t) — любовь/ненависть Джульетты к Ромео в момент времени t. Читать полностью ‘Любовь и дифференциальные уравнения’ »

Центральная предельная теорема

Каков средний вес человека?

Основная идея статистики заключается в том, что о населении в целом можно сказать что-то, выяснив это для меньшей группы людей. Без этой идеи не было бы опросов общественного мнения или предвыборных прогнозов, не было бы возможности испытать новые медицинские препараты или исследовать безопасность мостов и т. д. В значительной степени за факт, что мы можем делать все это и уменьшать неопределенности прогнозов, отвечает центральная предельная теорема.

Чтобы понять, как работает теорема, представим, что нужно узнать средний вес жителя Великобритании. Вы выходите и измеряете вес, скажем, ста случайно выбранных людей, и находите средний вес человека для этой группы — назовем это выборочным средним. Теперь выборочное среднее должно дать достаточно точное представление о среднем по стране. Но что, если вам в выборке попались только полные люди или, наоборот, только очень худые?

Чтобы получить представление о том, насколько типичным будет полученное среднее значение, нужно знать, как средний вес выборки из 100 человек варьируется в зависимости от населения: если вы взяли очень много групп из 100 человек и нашли средний вес для каждой группы, то насколько будут различаться найденные числа? И насколько его среднее (среднее средних) будет совпадать с истинным средним весом человека в популяции? Читать полностью ‘Центральная предельная теорема’ »

Крамер и его знаменитое правило

Габриэль Крамер

Габриэль Крамер (1704–1752) — швейцарский математик, ученик Иоганна Бернулли, один из основателей линейной алгебры.

Габриэль Крамер родился в Женеве в семье врача. В 18 лет он получил степень доктора, написав работу по теории звука. Через два года после этого он участвовал в конкурсе на место преподавателя на кафедре философии университета Женевы. На данное место претендовали три человека, все претенденты были достойные. Тогда поделили данное место на два: место на кафедре философии и место на кафедре математики. Место на кафедре математики разделили Крамер и Каландрини. Им было предложено по очереди путешествовать 2-3 года. В то время как один из них путешествует, второй должен исполнять все обязанности полностью и получать полное жалованье. Крамер и Каландрини поделили между собой математические курсы, которые они должны были преподавать. Крамер учил геометрии и механике, Каландрини – алгебре и астрономии. Крамер предложил учить студентов на французском языке вместо принятой тогда латыни, чтобы дать возможность обучаться имевшим способности к математике, но не знавшим латыни студентам. Это было принято университетом. В 1727 году Крамер отправляется в путешествие по Европе. В Базеле он в течение двух месяцев работает вместе с Иоганном Бернулли и Эйлером, в Лондоне встречается с Галлеем, де Муавром, Стирлингом и другими математиками, в Париже – с Мопертюи, Буффоном, Клеро, Фонтенелем и др. Дискуссии с ними и переписка в течение всей жизни оказали большое внимание на Крамера. В 1729 г. Крамер возвращается в Женеву и в 1730 г. борется за приз Парижской Академии наук, отвечая на вопрос “Какова причина эллиптической орбиты планет и движения их афелия?” Выиграл приз Иоганн Бернулли, Крамер был вторым. В 1734 г. “близнецы” разделяются. Каландрини переходит на кафедру философии, а Крамер один остается на кафедре математики. Крамер живет насыщенной жизнью. Он не только преподает и ведет переписку со многими математиками, но и пишет научные статьи, представляющие значительный интерес, хотя они и уступают статьям ведущих математиков, с которыми он переписывается. Он публикует статьи в различных журналах, например, в Записках Парижской Академии в 1734 г., Берлинской Академии в 1748, Читать полностью ‘Крамер и его знаменитое правило’ »

Задача о восьмистах красках

Эта интересная топологическая задача о раскраске привлекает внимание логиков всего мира с начала семидесятых годов прошлого века. Известная как “теорема о раскраске карты в восемьсот цветов”, она звучит так: “Можно ли разбить карту Европы на государства и раскрасить их в восемьсот цветов так, чтобы каждое государство было покрашено в свой цвет и никакие два соседние государства не были покрашены в один цвет?”

Математики, которых интересует эта проблема, считают, что ответ на данный вопрос утвердительный, но они не уверены в этом. Вследствие чрезвычайной сложности формализации данной задачи, они начали проводить эксперименты. Несмотря на это, трудная задача нахождения красок или фломастеров, имеющих восемьсот различных цветовых оттенков, добавила проблеме остроты.

В 1974 г. Мартин Рендраг, коллега профессора Николя Бурбаки, предложил блестящий метод нумерации цветов, который позволил переформлировать проблему, так что получилось нечто вроде этого: “Можно ли разбить карту Европы на государства и перенумеровать их числами от единицы до восьмисот так, чтобы каждое государство имело свой номер и никакие два соседние государства не имели одинаковых номеров?” Эта новая формулировка не дает ничего нового, она только позволяет оттянуть время начала раскрашивания карты, следовательно, она не устраняет трудности подбора цветов. Однако она может служить прекрасной отправной точкой для поиска рационального ответа на вопрос.

Тем не менее, ни одному математику не удавалось решить проблему с помощью карандаша и бумаги до тех пор, пока в 1979 г. команда, возглавляемая доктором Гёте из МТИ, не получила частичное решение, основанное на переформулировке Рендрага: программируя машину отеля Touring Club Конечных Штатов, доктор Гёте разделил карту Европы на восемьсот государств так, чтобы выполнялись логические ограничения задачи. Для получения данного результата необходимо было посчитать независимыми государствами все французские регионы, швейцарские кантоны, итальянские провинции, включая Изернии и Ористано, а также некоторые испанские области, такие как Ла-Манча и Пенедес, а также Фарерские острова, Кабреру и Лампедузу. Читать полностью ‘Задача о восьмистах красках’ »