Теория игр: красивая математика

Асрар Чоудхари

Во второй половине вашей жизни вы склонны оценивать возможности, возникавшие в юности во время взросления. В юности у меня было много возможностей. Теперь они безвозвратно потеряны. Весной 2011 года я впервые наилучшим образом использовал мои возможности. Моей дочери Аннапурне тогда было пять лет. Она спросила, что я делаю. Я ответил: “Я занимаюсь теорией игр’’. Аннапурна спросила: “Что такое теория игр, папа?’’ Математика в теории игр может быть и сложная, но интуитивно очень простая. Я рассказал ей одну историю. Читать полностью ‘Теория игр: красивая математика’ »

Чернила на бумаге: записки о конспектах



Рэй Херберт

Я учился в колледже задолго до эпохи ноутбуков, так что я научился конспектировать старомодным способом: чернилами на бумаге. Но это не значит, что моя система конспектирования была проста. В действительности это был сложный язык иероглифов, в котором все звездочки, подчеркивания, галочки и восклицательные знаки имели точное значение, хотя и только для меня. Читать полностью ‘Чернила на бумаге: записки о конспектах’ »

Теорема (звезда Давида)

Эта теорема представляет собой одно из арифметических свойств биномиальных коэффициентов, или чисел {\sf C}_n^k.

Теорема (звезда Давида). Наибольший общий делитель чисел {\sf C}_{n-1}^k,{\sf C}_{n}^{k-1} и {\sf C}_{n+1}^{k+1} равен наибольшему общему делителю чисел {\sf C}_{n-1}^{k-1},{\sf C}_{n}^{k+1} и {\sf C}_{n+1}^{k}.

Чтобы понять, почему эта теорема называется звездой Давида, посмотрите на следующий рисунок. Наибольший общий делитель чисел, стоящих в синих углах и наибольший общий делитель чисел, стоящих в фиолетовых углах, равны. Вместе эти два треугольники образуют звезду Давида.

Например, если n=4 и k=2, теорема утверждает, что наибольший общий делитель {\sf C}_3^2,{\sf C}_4^1 и {\sf C}_5^3 равен наибольшему общему делителю {\sf C}_3^1,{\sf C}_4^3 и {\sf C}_5^2. Очевидно, это не самый интересный пример, потому что при упрощении обоих НОД получаем НОД(3,4,10), который равен 1. Давайте рассмотрим другой пример. Читать полностью ‘Теорема (звезда Давида)’ »

Двумерное стихотворение

По-моему, прекрасное стихотворение о двумерном и трехмерном мирах ;) Прислал его Ярослав.

Ami Kari

Мой друг когда-то жил в плоском мире,
Он жил в обычной пустой квартире,
И стен в ней было всего четыре.
Ему твердили друзья:
“Чем больше стен, тем судьба удачней”,
Но он проблему считал пустячной,
Он мог бы жить в конуре чердачной,
Но там так было нельзя. Читать полностью ‘Двумерное стихотворение’ »

Клотоида — кривая, отвечающая за вашу безопасность на автомобильных и железных дорогах

Первые автомобильные и железные дороги имели вид прямолинейных участков, соединенных дугами окружностей. Но когда автомобили и поезда начали двигаться на более высоких скоростях, при въезде на криволинейные участки возникал неудобный и опасный толчок. Инженеры начали искать решение проблемы и нашли его в математике и физике. Хотите простое объяснение, почему в качестве переходной кривой используется клотоида?

Представьте, что вы должны спроектировать шоссе или высокоскоростную железную дорогу. Вы, конечно, постараетесь, чтобы она была как можно более прямой, но должны будут появиться и некоторые криволинейные участки. Так как самой простой кривой из всех является окружность, то легче всего прямые участки соединить между собой дугами окружностей. Что-то вроде ленты транспортера.

Кажется, что такими были первые чертежи, и так как первые автомобили и поезда не двигались слишком быстро, все шло гладко. Но все изменилось, когда транспортные средства смогли достичь более высоких скоростей. При входе в криволинейные участки, на стыках между секциями, появился внезапный толчок. Плохо дело. Читать полностью ‘Клотоида — кривая, отвечающая за вашу безопасность на автомобильных и железных дорогах’ »

Математика в афоризмах

Хорхе Вагенсберг

Напольная плитка Антонио Гауди

Математика — это язык, но не только язык. Также это инструмент и метод, но это еще не все. Она рождается в пределах конкретного ума, но является универсальной, как и музыка. Ее структура имеет возвышенную красоту и согласованность, но это не искусство и не наука. Математика рассчитывает, решает, считает, упорядочивает, классифицирует, систематизирует, понимает, описывает, угадывает, показывает, предполагает, индуцирует, абстрагирует, конкретизирует, обобщает, анализирует, синтезирует, спрашивает, отвечает, предупреждает, отмечает, имитирует, конструирует, превращает, иллюстрирует, интуитивно чувствует, обучает, играет, восхищает… все это делает математика, да, но что такое математика? Следующие афоризмы дают начало ответа.
1. Бог мог придумать физику, но должен был принять математику.
2. Математика не наука, потому что ей незачем идти на уступки реальности.
3. Математика помогает понять реальность и может ею вдохновляться, но для подтверждения или опровержения любого ее предложения реальность ей не нужна.
4. Число \pi, равное отношению длины окружности и ее диаметра, никогда не будет получено точно непосредственными измерениями.
5. Все реальное можно себе представить, но не все мыслимое возможно, поэтому воображение больше, чем вся реальность.
6. Физика кажется математикой в цвете, но математика больше, чем черно-белая физика.
7. Реальность говорит последнее слово, чтобы проверить или опровергнуть научную теорию, но что или кто заботится о таких вещах в математике?
8. Математики согласны, что не все имеет значение в математике, но расходятся в ответе на вопрос “есть ли что-то вроде математической реальности?’’ — половина думает, что вопрос тривиален, а другая половина — что вопрос не имеет смысла.
9. Как сказал Рамон Маргалеф (примеч. известный испанский биолог): “любой закон в биологии, который выражается формулой длиной более десяти сантиметров, является подозрительным’’. Читать полностью ‘Математика в афоризмах’ »