Блез Паскаль
Человек творит зло с особенным размахом и удовольствием, когда уверен, что поступает согласно велению совести.
(Блез Паскаль, “Мысли”)
Зачем изучать математику
Довольно распространенное заблуждение состоит в том, что математика считается сложным, непонятным, скучным и бесполезным предметом.
Вероятно, у людей, считающих так, есть компьютер, мобильный телефон, телевизор, кредитная карта… Наверное, интересно, как это все работает? Или любопытства нет, и даже не хочется задуматься, какие темные искусства были использованы для создания этих вещей. Читать полностью ‘Зачем изучать математику’ »
L Олимпиада по математике, Испания, продолжение
Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.
4. Пусть 
— последовательность натуральных чисел, такая что 
и 
для любого 
. Найдите, на какую наибольшую степень числа 
делится 
. Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания, продолжение’ »
L Олимпиада по математике, Испания
Уважаемые посетители!
Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.
1. Возможно ли на окружности расставить числа 
так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) 
, б) 
, в) 
? Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания’ »
Регулярные графы
Это продолжение темы о графах, начало смотрите здесь.
Определение. Граф, степени всех вершин которого одинаковы, называется регулярным.
Задача 1. В некоторой компании любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этой компании все имеют одинаковое число знакомых.
, в котором вершины изображают людей, и две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие люди знакомы. Рассмотрим две смежные вершины графа 
и 
. Пусть вершине 
. Эти вершины не смежны с вершиной 
и 
. Вершина 
найдется вершина 
, смежная с вершинами 
попарно различны, так как если 
, то люди, соответствующие вершинам 
, будут иметь более двух общих знакомых.
, смежная с Задача 2. В лагере отдыхают 
школьников. Известно, что среди любых школьников найдется по крайней мере один, знакомый с тремя остальными. Докажите, что найдется школьник, знакомый со всеми остальными школьниками. Читать полностью ‘Регулярные графы’ »
Теорема Содди
Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.
Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.
Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами 
касаются внешним образом. Пусть 
— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а 
— радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства
![\[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7136dea47ea786ade932b143c162e282_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ecf499908d12403e76e85fa36f7b34b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
