L Олимпиада по математике, Испания, продолжение

Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.

4. Пусть \{ x_n\}_{n\ge 1} — последовательность натуральных чисел, такая что x_1=2 и x_{n+1}=2x_n^3+x_n для любого n\ge 1. Найдите, на какую наибольшую степень числа 5 делится x_{2014}^2+1. Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания, продолжение’ »

L Олимпиада по математике, Испания

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а) 13, б) 14, в) 15? Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания’ »

Регулярные графы

Это продолжение темы о графах, начало смотрите здесь.

Определение. Граф, степени всех вершин которого одинаковы, называется регулярным.

Задача 1. В некоторой компании любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этой компании все имеют одинаковое число знакомых.

Показать решение

Задача 2. В лагере отдыхают 50 школьников. Известно, что среди любых школьников найдется по крайней мере один, знакомый с тремя остальными. Докажите, что найдется школьник, знакомый со всеми остальными школьниками. Читать полностью ‘Регулярные графы’ »

Теорема Содди

Фредерик Содди (1877—1956) — английский химик, изучавший проблемы радиоактивности совместно с Резерфордом, выдвинувший теорию изотопов, удостоенный Нобелевской премии по химии 1921 г. за вклад в теорию строения атома. Кроме химии, Ф. Содди интересовался экономическими, социальными и политическими теориями, написал несколько книг на эти темы, а также занимался некоторыми математическими задачами.

Следующая довольно красивая теорема, долгое время считавшаяся гипотезой, принадлежит именно ему, хотя доказал ее Коксетер.

Теорема Содди. Пусть три окружности с радиусами a,b,c касаются внешним образом. Пусть r — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внешним образом, а R — радиус окружности, касающейся трех данных окружностей внутренним образом. Тогда имеют место равенства

\displaystyle2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{r^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{r}\right)^2,

\displaystyle 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{R^2}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{R}\right)^2.

Читать полностью ‘Теорема Содди’ »

Неверно названные теоремы

Это список из неверно названных теорем в математике. Он включает в себя теоремы (леммы, следствия, гипотезы, законы и, возможно, даже странный объект), которые хорошо известны в математике, но названы не по имени открывшего их человека.

Закон Бенфорда. Впервые о нем заявил в 1881 году Саймон Ньюкомб, заново он был открыт в 1938 году Фрэнком Бенфордом. Первая строгая формулировка и доказательство, кажется, принадлежат Теду Хиллу (1988 год).

Теорема Бертрана о выборах. Этот результат относительно вероятности того, что победитель выборов был впереди на каждом шаге подсчета голосов, впервые опубликовал В.А. Витворт в 1878 году, но носит имя Джозефа Луи Франсуа Бертрана, который переоткрыл его в 1887 году.

Теорема Безу. Вполне возможно, что ее впервые сформулировал Исаак Ньютон в 1665 году. Суть доказательства была представлена Колином Маклореном (ок. 1720 г.) и Леонардом Эйлером, а также Этьеном Безу (ок. 1750 г.). Тем не менее, “доказательство’’ Безу было неверным. Первое правильное доказательство, кажется, по большей части принадлежит Жоржу-Анри Альфану (1870 г.). Читать полностью ‘Неверно названные теоремы’ »

Эмми Нётер

Отец Эмми Нётер — Макс Нётер — был выдающимся математиком и профессором в Эрлангене. Ее мать, Ида Кауфман, происходила из богатой кельнской семьи. Оба родителя Эмми были евреи. Эмми была старшей из четырех детей, у нее было три младших брата. Читать полностью ‘Эмми Нётер’ »