Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

    \[S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,\]

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

    \[S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots\]

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots\]

и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »

Грядущей сессии посвящается :-)

Экзамен — это разговор двух умных людей. А если один из них дурак, то второй останется без стипендии. Читать полностью ‘Грядущей сессии посвящается :-) ’ »

Ада Лавлейс (1815-1852), графиня-математик

Ада Лавлейс

Попробуйте представить себе человека, который программирует на компьютере. Получилось? Более чем вероятно, что вы представили себе сравнительно молодого и не слишком общительного парня, не так ли?

Каким бы парадоксальным это ни казалось, но несмотря на существование такого стереотипа (несправедливого, как это часто бывает с обобщениями), человеком, считающимся первым программистом, была женщина — Ада Лавлейс. Кроме того, она была дочерью одного из величайших поэтов в истории — лорда Байрона.

Августа Ада Байрон (в замужестве Кинг), единственная законнорожденная дочь английского поэта лорда Байрона, получила титул графини Лавлейс в 1838 году, когда ее муж Уильям Кинг унаследовал титул графа Лавлейс.

В истории вычислительной техники Ада Лавлейс часто упоминается вместе с другим человеком: Чарльзом Бэббиджем, который считается отцом вычислений за изобретение механического калькулятора и, прежде всего, проект (хотя и не воплощенный в жизнь) так называемой аналитической машины. Эта машина, по идее Бэббиджа, могла быть запрограммирована для выполнения каких-либо вычислений. Таким образом, она была чем-то вроде предка современных компьютеров.

Но давайте вернемся к нашей героине. Ада и Бэббидж встретились благодаря общему другу, Мэри Сомервилль, и с этого момента между ними началась интенсивная переписка. Бэббидж был настолько впечатлен способностями Ады, что в 1842 воспользовался ее услугами. На французском языке была опубликована работа итальянского военного инженера Луи Фредерико Менабреа об аналитической машине, и Бэббидж хотел, чтобы Ада перевела эту работу на английский язык. Ада не только перевела работу, но и снабдила ее собственными обширными комментариями. Эти замечания, которые по объему оказались в три раза больше самой работы, в результате содержали то, что сегодня считается первой компьютерной программой. Читать полностью ‘Ада Лавлейс (1815-1852), графиня-математик’ »

Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера

Мартин Гарднер

1. Безумный разрез

Вы должны сделать один разрез (или нарисовать линию) — конечно, это не обязательно должна быть прямая — которая разделит фигуру на две одинаковые части. Читать полностью ‘Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера’ »

Когда интуиция подводит: неверные предположения в математике

Хорошо известно, что наша интуиция не является совершенной. Мы предсказуемо иррациональны в нашей повседневной жизни при выборе из огромного количества вариантов. Но как насчет чего-то немного более сложного? Бывают ли случаи, когда мы используем наш разум — нашу способность к экстраполяции и прогнозированию — и все равно терпим неудачу, потому что вещи просто оказываются слишком сложными. Такая ситуация, похоже, имеется в виду в следующем вопросе: “Каков пример математической гипотезы, опровергнутой только для “очень больших’’ чисел? Читать полностью ‘Когда интуиция подводит: неверные предположения в математике’ »

Джим Фаулер и его математика

Многим, наверное, известны уроки математики Салмана Хана, о них много говорили и писали. Однако уроки математики Джима Фаулера, на мой взгляд, несравненно лучше. Читать полностью ‘Джим Фаулер и его математика’ »