Край бесконечности

Друзья, поздравляю вас с Рождеством Христовым и предлагаю вот этот небольшой фантастический рассказ, хоть и не рождественский, но все же интересный и связанный с математикой.

Стэнли Вейнбаум, 1936

Вряд ли можно назвать жизнь преподавателя математики в Восточном университете полной приключений. Обычно предполагается, что профессора ведут тихое существование, свойственное ученым, и математик может показаться наиболее сухим и наименее живым человеком, так как его предмет является, пожалуй, самым оторванным от жизни. И все же, даже в безжизненной науке о цифрах были свои мечтатели: Клерк Максвелл, Лобачевский, Эйнштейн и другие. Последний, сам великий Альберт Эйнштейн, выковал ту единственную цепь, которая связала философскую мечту и экспериментальную науку тончайшими математическими символами, призрачными, как мысль, но нерасторжимыми.

И не забывайте, что “Алиса в стране чудес’’ была написана мечтателем, который, по случаю, также был математиком. Не то чтобы я причислял себя к этим людям, я достаточно практичен, чтобы не предаваться фантазиям. Мое дело учить.

По крайней мере, преподавание является моим основным занятием. Когда представляется случай, я выполняю некоторые статистические исследования для промышленных корпораций, вы найдете мое имя в секретном списке: Эбнер Ааронс, статистик и математик-консультант. Я с трудом зарабатываю на жизнь, и иногда мне попадается что-то интересное. Конечно, в основном такая работа состоит из построения графиков тенденций потребления для производителей или увеличения численности населения для коммунальщиков.

Иногда некоторые предприимчивые рекламные агентства спрашивают у меня, сколько банок сардин необходимо, чтобы заполнить Панамский канал, или еще что-либо этакое, чтобы использовать в качестве броской рекламы. Не такая уж захватывающая работа, но она помогает материально.

Таким образом, я не был сильно удивлен в то июльское утро, когда раздался телефонный звонок. Читать полностью ‘Край бесконечности’ »

Гипотеза об одиноком бегуне

Гипотеза об одиноком бегуне выдвинута Уиллсом (J. M. Wills) в 1967 г. Название ей дал Годдин (L. Goddyn) в 1998 г.




Читать полностью ‘Гипотеза об одиноком бегуне’ »

С Новым 2015 годом!

Дорогие друзья!

Поздравляю вас с наступившим Новым годом! Желаю вам в этом году всего самого светлого и радостного! Всем выпускникам — поступить туда, куда хочется, всем учителям — радости от общения с прекрасными учениками, всем ученикам, которым предстоит учиться в школе хотя бу еще один год, и всем студентам — удовольствия от учебы и мудрых, понимающих, знающих преподавателей! И разумеется всем — мира, добра, удачи во всем!

И в качестве подарка вот такая замечательная елочка:

Читать полностью ‘С Новым 2015 годом!’ »

О совершенных числах и величинах, обратным их делителям


Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, равна 2. Например, для числа 28, имеем

    \[\frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{7} +\frac{1}{14} +\frac{1}{28}= 2.\]

Сейчас мы докажем это простое свойство. Но сначала вспомним определение.

Определение. Число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей (т.е. всех своих делителей за исключением самого себя). Читать полностью ‘О совершенных числах и величинах, обратным их делителям’ »

С Рождеством Христовым: шары и звезда

Приближается католическое Рождество (да и Новый год, и наше Рождество тоже не за горами :-) ). И Тито Элиатрон в своем блоге поздравляет всех с наступающим праздником. Также он предлагает отвлечься от сопутствующих Рождеству совершенно не христианских чревоугодия и алчности и поиграть в интересную математическую игру. Игра эта называется “шары и звезда’’.

Читать полностью ‘С Рождеством Христовым: шары и звезда’ »

Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

    \[S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,\]

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

    \[S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots\]

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots\]

и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »