Гипотеза об одиноком бегуне

Гипотеза об одиноком бегуне выдвинута Уиллсом (J. M. Wills) в 1967 г. Название ей дал Годдин (L. Goddyn) в 1998 г.




Читать полностью ‘Гипотеза об одиноком бегуне’ »

С Новым 2015 годом!

Дорогие друзья!

Поздравляю вас с наступившим Новым годом! Желаю вам в этом году всего самого светлого и радостного! Всем выпускникам — поступить туда, куда хочется, всем учителям — радости от общения с прекрасными учениками, всем ученикам, которым предстоит учиться в школе хотя бу еще один год, и всем студентам — удовольствия от учебы и мудрых, понимающих, знающих преподавателей! И разумеется всем — мира, добра, удачи во всем!

И в качестве подарка вот такая замечательная елочка:

Читать полностью ‘С Новым 2015 годом!’ »

О совершенных числах и величинах, обратным их делителям


Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, равна 2. Например, для числа 28, имеем

    \[\frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{7} +\frac{1}{14} +\frac{1}{28}= 2.\]

Сейчас мы докажем это простое свойство. Но сначала вспомним определение.

Определение. Число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей (т.е. всех своих делителей за исключением самого себя). Читать полностью ‘О совершенных числах и величинах, обратным их делителям’ »

С Рождеством Христовым: шары и звезда

Приближается католическое Рождество (да и Новый год, и наше Рождество тоже не за горами :-) ). И Тито Элиатрон в своем блоге поздравляет всех с наступающим праздником. Также он предлагает отвлечься от сопутствующих Рождеству совершенно не христианских чревоугодия и алчности и поиграть в интересную математическую игру. Игра эта называется “шары и звезда’’.

Читать полностью ‘С Рождеством Христовым: шары и звезда’ »

Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

    \[S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,\]

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

    \[S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots\]

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

    \[S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots\]

    \[S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots\]

и сложим оба ряда, получим Читать полностью ‘Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами’ »

Грядущей сессии посвящается :-)

Экзамен — это разговор двух умных людей. А если один из них дурак, то второй останется без стипендии. Читать полностью ‘Грядущей сессии посвящается :-) ’ »