8. Геометрия

Уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами (x_1,y_1) и (x_2,y_2):
\left|\begin{array}{ccc}<br />
x&y&1\\<br />
x_1&y_1&1\\<br />
x_2&y_2&1 \end{array}\right|=0.

Уравнение окружности, проходящей через точки плоскости с координатами (x_1,y_1),(x_2,y_2), и (x_3,y_3):

\left|\begin{array}{cccc}<br />
x^2+y^2&x&y&1\\<br />
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\<br />
x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\<br />
x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0.

При условии, что все три точки лежат на одной прямой:

\left|\begin{array}{ccc}<br />
x_1&y_1&1\\<br />
x_2&y_2&1\\<br />
x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0

окружность вырождается в прямую

\left|\begin{array}{cccc}<br />
0&x&y&1\\<br />
x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\<br />
x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\<br />
x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{array}\right|=0.

Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_0,y_0,z_0) параллельно векторам {\bf a}=(a_1,a_2,a_3) и {\bf b}=(b_1,b_2,b_3):

\left|\begin{array}{ccc}<br />
x-x_0&y-y_0&z-z_0\\<br />
a_1&a_2&a_3\\<br />
b_1&b_2&b_3<br />
\end{array}\right|=0.

Замечание. Сформулированные геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об интерполяции.

Определение. Определителем Грама векторов {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n евклидова пространства \mathbb{E}^n называется определитель

G({\bf a}_1,\dots,{\bf a}_n)=\left|\begin{array}{cccc}<br />
({\bf a}_1,{\bf a}_1)&({\bf a}_1,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_1,{\bf<br />
a}_n)\\<br />
({\bf a}_2,{\bf a}_1)&({\bf a}_2,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_2,{\bf<br />
a}_n)\\<br />
\ldots&&&\\<br />
({\bf a}_n,{\bf a}_1)&({\bf a}_n,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_n,{\bf a}_n)<br />
\end{array}\right|.

Теорема. Расстояние d от точки, заданной вектором {\bf x}, до линейного многообразия {\cal P}={\bf x}_0+{\cal L}, где {\cal L} — линейное пространство с базисом {\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_k, находится по формуле

\displaystyle d^2=\frac{G({\bf a}_1,\dots,{\bf a}_k,{\bf x}-{\bf x}_0)}{G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_k)}.

Доказательство. Положим {\bf x}-{\bf x}_0={\bf y}+{\bf z}, где {\bf y}\in{\cal L}, {\bf z}\in{\cal L}^*. Тогда d^2=({\bf z},{\bf z}).

Пусть {\bf y}=\lambda_1{\bf a}_1+\lambda_2{\bf<br />
a}_2+\ldots+\lambda_k{\bf a}_k. Из последнего столбца определителя G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_k,{\bf x}-{\bf x}_0) вычтем предыдущие столбцы, умноженные соответственно на \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k. На месте ({\bf a}_i,{\bf x}-{\bf x}_0) получится нуль, а на месте ({\bf x}-{\bf x}_0,{\bf x}-{\bf x}_0) будет ({\bf x}-{\bf x}_0,{\bf z})=({\bf z},{\bf z}).

Определение. Объем n-мерного параллелепипеда, построенного на линейно независимых векторах {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n евклидова пространства \mathbb{E}^m определяется индуктивно условиями:

1) V({\bf a}_1)=|{\bf a}_1|;

2) V({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n)=V({\bf a}_1,\ldots,{\bf<br />
a}_{n-1})\cdot h_n, где h_n — длина ортогональной составляющей вектора {\bf a}_n относительно линейного пространства, натянутого на векторы {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_{n-1}.

Теорема.

V({\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_n)=\sqrt{G({\bf a}_1,\ldots,{\bf<br />
a}_n)}=\sqrt{DD^T},

где

D=\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1m}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2m}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nm}<br />
\end{array}\right),

{\bf a}_1=(a_{11},a_{12},\ldots,a_{1m}),\ldots,{\bf<br />
a}_n=(a_{n1},a_{n2},\ldots,a_{nm}),

и координаты векторов даны в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства \mathbb{E}^m.

Доказательство. По индукции. База верна. По теореме о расстоянии найдем h_n:

\displaystyle h_n^2=\frac{G({\bf a}_1,\ldots,{\bf a}_{n-1},{\bf a}_n)}{G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_{n-1})}.

Подставим полученное выражение в формулу

V({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n)=V({\bf a}_1,\ldots,{\bf<br />
a}_{n-1})\cdot h_n

и с помощью индукционного предположения получим
первую часть утверждения.

Для доказательства второй части заметим, что в ортонормированном базисе скалярное произведение

({\bf x},{\bf y})=x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_my_m,

если {\bf x}=(x_1,\ldots,x_m), {\bf y}=(y_1,\ldots,y_m). Тогда

\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1m}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2m}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nm}<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{n1}\\<br />
a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{n2}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{1m}&a_{2m}&\ldots&a_{nm}<br />
\end{array}\right)=G({\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_n),

откуда и следует требуемое.

Замечание. На основании свойств определителя Грама, выражение под знаком квадратного корня всегда неотрицательно.

Пример 1. Площадь параллелограмма на плоскости, натянутого на векторы (x_1,y_1) и (x_2,y_2) равна абсолютной величине (модулю) определителя

\left|\begin{array}{cc}<br />
x_1&y_1\\<br />
x_2&y_2<br />
\end{array}\right|.

2. Площадь параллелограмма в пространстве, натянутого на векторы (x_1,y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2) равна

\arraycolsep=1mm<br />
\sqrt{\det\left[\left(\begin{array}{ccc}<br />
x_1&y_1&z_1\\<br />
x_2&y_2&z_2 \end{array} \right)\cdot\left(<br />
\begin{array}{cc}<br />
x_1&x_2\\<br />
y_1&y_2\\<br />
z_1& z_2 \end{array}\right) \right]}=\sqrt{\left|\begin{array}{cc}<br />
x_1^2+y_1^2+z_1^2&x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\\<br />
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2&x_2^2+y_2^2+z_2^2 \end{array}\right|}.

3. Площадь треугольника с вершинами (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) как половина площади параллелограмма равна абсолютной величине (модулю) выражения

\displaystyle \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}<br />
1&x_1&y_1\\<br />
1&x_2&y_2\\<br />
1&x_3&y_3<br />
\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}<br />
x_2-x_1&y_2-y_1\\<br />
x_3-x_1&y_3-y_1 \end{array}\right|.

4. Площадь n-угольника P_0P_1\ldots P_{n-1} с вершинами P_0(x_0,y_0),\ldots,P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1}) равна абсолютной величине (модулю) выражения

\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-2}\left|\begin{array}{ccc}<br />
1&x_0&y_0\\<br />
1&x_k&y_k\\<br />
1&x_{k+1}&y_{k+1}<br />
\end{array}\right|.

при условии, что стороны не пересекаются.

Следствие 1. Объем тетраэдра, построенного на векторах {\bf a},{\bf b},{\bf c}, равен \displaystyle\frac{1}{6} объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Отсюда объем тетраэдра с вершинами (x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3), (x_4,y_4,z_4) равен абсолютной величине (модулю) выражения

\displaystyle\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}<br />
x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\<br />
x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\<br />
x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1<br />
\end{array}\right|=<br />
\frac{1}{6}\left|\begin{array}{cccc}<br />
1&x_1&y_1&z_1\\<br />
1&x_2&y_2&z_2\\<br />
1&x_3&y_3&z_3\\<br />
1&x_4&y_4&z_4 \end{array}\right|.

Следствие 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми с параметрическими уравнениями \vec{r}=\vec{r}_1+\vec{a}_1t и \vec{r}=\vec{r}_2+\vec{a}_2t. Построим параллелепипед со сторонами \vec{r}_1-\vec{r}_2, \vec{a}_1 и \vec{a}_2. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелепипеда.

\displaystyle<br />
\rho=\frac{V}{S}=\frac{|(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{r}_1-\vec{r}_2)|}{| [\vec{a}_1,\vec{a}_2]|}=\frac{\left|\det\left(\begin{array}{ccc}<br />
x_1-x_2&y_1-y_2&z_1-z_2\\<br />
\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2&\gamma_2<br />
\end{array}\right)\right|}{\sqrt{\left|\begin{array}{cc}<br />
\beta_1&\gamma_1\\<br />
\beta_2&\gamma_2<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
\gamma_1&\alpha_1\\<br />
\gamma_2&\alpha_2<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
\alpha_1&\beta_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2<br />
\end{array}\right|^2}}=

=\frac{\left|\det\left(\begin{array}{ccc}<br />
x_1-x_2&y_1-y_2&z_1-z_2\\<br />
\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2&\gamma_2<br />
\end{array}\right)\right|}{\sqrt{\det\left[\left(\begin{array}{ccc}<br />
\alpha_1&\beta_1&\gamma_1\\<br />
\alpha_2&\beta_2&\gamma_2 \end{array} \right)\cdot\left(<br />
\begin{array}{cc}<br />
\alpha_1&\alpha_2\\<br />
\beta_1&\beta_2\\<br />
\gamma_1& \gamma_2 \end{array}\right) \right]}}.

Следствие 3. Расстояние от точки с радиус-вектором \vec{r}_1 до прямой с параметрическим уравнением \vec{r}=\vec{r}_0+\vec{a}t. Построим параллелограмм со сторонами \vec{r}_1-\vec{r}_0$ и $\vec{a}. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелограмма.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\rho=\frac{S}{|\vec{a}|}=\frac{|[\vec{r}_1-\vec{r}_0,\vec{a}]|}{|\vec{a}|}=\\[5mm]<br />
\displaystyle =\frac{\sqrt{\left|\begin{array}{cc}<br />
y_1-y_0&z_1-z_0\\<br />
\beta&\gamma<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
z_1-z_0&x_1-x_0\\<br />
\gamma&\alpha<br />
\end{array}\right|^2+\left|\begin{array}{cc}<br />
x_1-x_0&y_1-y_0\\<br />
\alpha&\beta<br />
\end{array}\right|^2}}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}}.<br />
\end{array}

Теорема. Объем n-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями

a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\ldots+a_{jn}x_n=\pm h_j,\quad h_j\ge0,\ j\in\{1,2,\ldots,n\}

равен

\displaystyle V=\frac{2^nh_1h_2\ldots h_n}{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n}.

Доказательство. Очевидно, что начало координат находится в точке пересечения диагоналей параллелепипеда. Выберем n вершин параллелепипеда таким образом, чтобы

\arraycolsep=1mm<br />
\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}<br />
x_{11}&x_{21}&\ldots&x_{n1}\\<br />
x_{12}&x_{22}&\ldots&x_{n2}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
x_{n1}&x_{n2}&\ldots&x_{nn}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{crrcr}<br />
h_1&-h_1&-h_1&\ldots&-h_1\\<br />
h_2&h_2&-h_2&\ldots&-h_2\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
h_n&h_n&h_n&\ldots&h_n<br />
\end{array}\right).

Здесь (x_{11},x_{12},\ldots,x_{n2}),\ldots, (x_{n1},x_{n2},\ldots,x_{nn}) — координаты вершин. Это возможно, так как имеем 2^n систем линейных уравнений с одной и той же матрицей A, выбираем из них n.

Объем параллелепипеда найдем, воспользовавшись предыдущей теоремой. Для этого перейдем в систему координат с началом в вершине, которая определяется системой уравнений

a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\ldots+a_{jn}x_n=-h_j,\ j\in\{1,2,\ldots,n\}.

В этой системе координат составим матрицу из координат n выбранных вершин:

X=\left(\begin{array}{cccc}<br />
2x_{11}&x_{21}+x_{11}&\ldots&x_{n1}+x_{11}\\<br />
2x_{12}&x_{22}+x_{12}&\ldots&x_{n2}+x_{12}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
2x_{1n}&x_{2n}+x_{1n}&\ldots&x_{nn}+x_{1n}<br />
\end{array}\right).

Домножим матрицу X слева на A, получим

AX=\left(\begin{array}{ccccc}<br />
2h_1&0&0&\ldots&0\\<br />
2h_2&2h_2&0&\ldots&0\\<br />
2h_3&2h_3&2h_3&\ldots&0\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
2h_n&2h_n&2h_n&\ldots&2h_n<br />
\end{array}\right).

Перейдем в этом равенстве к определителям, получим, учитывая, что |X|=V:

|A|V=2^nh_1h_2\ldots h_n,

что и доказывает утверждение теоремы.

Теорема. Объем n-мерного эллипсоида, ограниченного поверхностью

(x_1,x_2,\ldots,x_n)\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}<br />
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}<br />
x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n<br />
\end{array}\right)=1

(квадратичная форма, стоящая в левой части, положительно определена) равен

\displaystyle\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}\frac{1}{\sqrt{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n}}.

Здесь \Gamma обозначает гамма-функцию:

\displaystyle\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}{z(z+1)\ldots(z+n)}n^z.

Если вещественная часть числа z положительна, то можно также пользоваться формулой

\displaystyle\Gamma(z)=\int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}dx

(эйлеров интеграл 2-го рода).

При вычислениях значений \Gamma-функции в последней формуле достаточно пользоваться следующими ее свойствами:

\displaystyle\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\ \forall x>0,

\Gamma(n+1)=n!\ \forall n\in\mathbb{N}.

Доказательство. Докажем сначала эту формулу для n-мерного шара. Подобное преобразование тела в n-мерном пространстве влечет изменение объема, пропорциональное n-й степени коэффициента подобия. Для параллелепипеда это непосредственно следует из формулы для объема, а для всякого другого тела объем есть предел суммы объемов параллелепипедов. Следовательно, объем V_n(R) n-мерного шара радиуса R равен V_n(1)R^n.

Для вычисления V_n(1) разобьем шар системой параллельных (n-1)4-мерных плоскостей и воспользуемся принципом Кавальери.

Пусть x — расстояние секущей плоскости от центра шара. Сечение есть n-мерный шар радиуса \sqrt{1-x^2}.

Следовательно,

\displaystyle V_n(1)=2\int_0^1V_{n-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)<br />
dx=2V_{n-1}(1)\int_0^1(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx=

\displaystyle=V_{n-1}(1)\int_0^1t^{\frac{n-1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=V_{n-1}(1)\mbox{\rm B}\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)=

\displaystyle=V_{n-1}(1)\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.

Отсюда следует, что

\displaystyle V_n(1)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.

Поскольку n-мерный эллипсоид получается из шара V_n(1) растяжениями в r_i раз вдоль i-й полуоси, его объем равен V_n(1)r_1r_2\ldots r_n. Как известно из курса аналитической геометрии, определитель матрицы равен произведению квадратов обратных полуосям величин. Отсюда
получаем утверждение теоремы.

Замечание. Здесь \mbox{\rm B}(p,q) обозначает бета-функцию:

\displaystyle \mbox{\rm B}(p,q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx.

Значения бета-функции при различных значениях параметров p и q связаны между собой следующими соотношениями:

\displaystyle\mbox{\rm B}(p,q)=\mbox{\rm B}(q,p),\ \mbox{\rm B}(p,q)=\frac{q-1}{p+q-1}\mbox{\rm B}(p,q-1),\ q>1.

Справедлива формула

\displaystyle \mbox{\rm B}(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi},\ 0<p<1.

Бета функция выражается через гамма-функцию:

\displaystyle \mbox{\rm B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.

Пример 1. Площадь, ограниченная эллипсом a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2=1, вычисляется по формуле

\displaystyle S=\frac{\pi}{\sqrt{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}}.

Пример 2. Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом

(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\<br />
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\<br />
a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{array}\right)=1

равен

\displaystyle V=\frac{4}{3}\frac{\pi}{\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\<br />
a_{12}&a_{22}&a_{23}\\<br />
a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{array}\right|}}.

3. Объем фигуры, ограниченной четырехмерным эллипсоидом (в записи, аналогичной предыдущей) –

\displaystyle V=\frac{\pi^2}{2\sqrt{\det A}}.

Задачи.

1. Дан выпуклый многогранник. Возьмем единичный вектор внешней нормали каждой грани и умножим его на площадь грани. Найдите сумму получившихся векторов.

2. Напишите уравнение круговой конической поверхности, для которой оси прямоугольной декартовой системы координат служат образующими.

3. Из точки, лежащей вне эллипсоида, проведены все касательные к нему. Докажите, что все точки касания лежат в одной плоскости.

4. Пусть a,b,r>0. Доказать, что расстояние от любой точки эллипса \displaystyle \frac{x^2}{(a+r)^2}+\frac{y^2}{(b+r)^2}=1 до эллипса \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 не превосходит r.

5. Дана гипербола и точка, не лежащая на ней. Рассматриваются всевозможные хорды гиперболы, проходящие через эту точку. Докажите, что точки пересечения касательных к гиперболе, проходящих через концы таких хорд, лежат на одной прямой.

6. Внутренняя поверхность трехгранного угла, ребрами которого служат положительные лучи осей OX,OY,OZ декартовой системы координат, зеркальна. Луч света идет из точки M_0, лежащей внутри угла, в направлении вектора {\bf a}, образующего тупые углы с осями OX,OY,OZ. Докажите, что свет отразится ровно по одному разу от каждой из граней угла (если не попадет ни на одно из ребер) и найти, по какой прямой он будет двигаться после всех отражений.

7. Пусть A — вершина куба C с ребром 4, S — сфера, вписанная в C, R — область, состоящая из всех точек M между S и C таких, что M ближе к A, чем к любой другой вершине куба C. Найдите объем V(R).

8. Даны две непересекающиеся и не лежащие одна в другой окружности радиусов R_1 и R_2 (R_1\ne R_2). Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных окружностей.

9. Найдите геометрическое место центров прямоугольников, вписанных в данный треугольник так, что одна из их сторон лежит на основании треугольника.

10. Сумма длин нескольких векторов на плоскости равна 4. Докажите, что из этих векторов можно выбрать несколько (может быть, один) так, чтобы длина суммы выбранных векторов была не менее 1.

11. Составить уравнение поверхности, получаемой вращением кривой x^3+y^3=3xy; z=0 вокруг прямой x=y=z.

12. Точки A,B,C движутся по плоскости так, что в каждый момент времени нормаль к траектории точки A, проведенная через точку A, является биссектрисой угла BAC. Аналогичное условие выполняется при движении точек B и C. Докажите, что периметр \Delta ABC постоянен.

13. В \mathbb{R}^3 задана поверхность x^5+y^5=z^7. Найти все прямые, принадлежащие этой поверхности.

14. В эллипсоид \displaystyle<br />
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 впишите прямой цилиндр (ось цилиндра совпадает с осью эллипсоида) максимального объема.

15. Найдите наибольший радиус окружности, лежащей на эллипсоиде \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 (a>b>c).

Источник: http://pmpu.ru/vf4/dets/geometry

Один комментарий

  1. 1 Ольга:

    Очень хорошо! От простого к сложному. Тут найдет свою изюминку и начинающий, и опытный специалист.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение