6. Матрицы и определители
1. След матрицы
Определение. Следом матрицы называется сумма элементов, стоящих по главной диагонали.
Обозначение: .
Свойства следа:
1. .
2. .
3. .
Задача. Доказать, что матричное уравнение , где
— квадратная матрица
,
— единичная матрица, решений не имеет.
Решение. След матрицы, стоящей в левой части уравнения, равен , а в правой части —
.
2. Вычисление некоторых определителей
2.1. Циклический определитель (циркулянт)
В строках циклически передвигаются .
Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим
Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий:
Вычтем первую строчку из всех последующих, и полученный определитель разложим по последнему столбцу:
2.2. Определитель Вандермонда
Вычтем последовательно из -го,
-го,
, второго столбца предыдущий, домноженный на
:
разложим по первой строке, и вынесем общие множители элементов строк получившегося определителя -го порядка:
Определитель имеет тот же вид, что и исходный, но на единицу меньший порядок. Его можно преобразовать аналогично:
Продолжая процесс далее, приходим к окончательному ответу
2.3. Циклический определитель (циркулянт) еще раз
А теперь рассмотрим циркулянт общего вида
Рассмотрим полином . Домножим циркулянт на определитель Вандермонда, составленный по
(
— корень степени
из
) и воспользуемся равенством
. Получим
откуда
поскольку определитель Вандермонда здесь отличен от нуля.
2.4. Ганкелев определитель
Ганкелевой матрицей называется симметричная матрица следущего вида:
Элементы — образующие ганкелевой матрицы.
Теорема. Если при
, то
Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения:
На основании теоремы Бинe — Коши, равен тогда произведению двух определителей Вандермонда:
2.5. Определитель Коши
Вычтем из второго, третьего и т.д., -го столбца первый:
и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:
Вычтем первую строку полученного определителя из второй, третьей и т.д., -й:
разложим по первому столбцу и вынесем общие множители из числителей и знаменателей строк и столбцов:
В результате получили определитель той же структуры, что и исходный, но на единицу меньшего порядка. Продолжая процесс по аналогии, получим окончательно:
2.6. Определитель матрицы Гильберта
Если при
, то определитель матрицы Гильберта
равен
Он получается из определителя Коши, если положить ,
.
2.7. Ленточный определитель
Определитель Якоби:
после разложения по общей формуле разложения определителя будет представлять из себя полином по , линейный по каждой переменной. Если разложить
по последней строке, то получим:
Теорема. Значение равно сумме главного члена
и всевозможных произведений, получающихся из него заменой одной или нескольких пар соседних множителей
на
.
Частный случай определителя Якоби — континуант:
Его величина совпадает с континуантой.
Исследуем еще один частный случай определителя Якоби (при
одинаковых элементах на диагоналях):
В этом случае уравнение получим
Таким образом, для нахождения определителя нужно решить линейное рекуррентное соотношение второго порядка. Начальные данные находим, вычислив определители
и
:
Упражнение. Вычислить определитель
Задачи.
1. Пусть матрица ,
, и
— минор элемента
. Пусть
— матрица, составленная из элементов
, и
. Докажите, что
.
2. Пусть
Для каких уравнение
имеет кратные корни по
?
3. Пусть — матрица
с элементами
. Найдите
.
4. Пусть — единичная матрица
,
Докажите, что наибольший общий делитель элементов матрицы стремится к бесконечности при
.
5. Пусть —
матрица, диагональные элементы ее все равны
и
, если
четно и
, если
нечетно. Найдите
6. Вычислите
7. Найдите определитель -го порядка
8. Пусть и
— вещественные не равные матрицы
, такие, что
и
. можно ли выбрать матрицы
и
так, чтобы матрица
была обратима?
9. Пусть — конечная группа, состоящая из вещественных
матриц с операцией матричного умножения. Сумма следов всех элементов
равна нулю. Докажите, что сумма всех элементов
— нулевая матрица.
10. Пусть и
— матрицы
с целыми элементами. Пусть матрицы
и
имеют обратные с целыми элементами. Докажите, что и матрица
тоже имеет обратную с целыми элементами.
11. Доказать, что определитель вещественной кососимметрической матрицы не может быть отрицательным числом.
12. Пусть
Существует ли матрица такая, что
?
13. Даны две матрицы и
размерами
и
соответственно, причем известно, что
Найдите .
14. Пусть — матрица:
при
и
. Докажите, что число ненулевых элементов в разложении
равно
.
Больше о матрицах и определителях (и не только): http://pmpu.ru/vf4/
1 Лада:
Спасибо, замечательная статья. Прекрасным справочником по Линейной Алгебре является “Задачи и теоремы линейной алгебры” Прасолова, а для начального знакомства и плодотворного сотрудничества подойдет Алгебра Винберга. Для лучшего усвоения теории непонятные места можно прояснять в “Алгебре и Аналитической геометрии” Милованова, в ней больше примеров дано в разобранном виде.
[Ответить]
14 Апрель 2017, 10:142 Гриша:
Седьмая задача невероятно проста, поскольку может быть решена в уме. Ответ однозначно cos(na), в данной задачи достаточно использовать полиномиальные функции Чебышёва и разложение трёхдиагонального детерминанта через посредство формулы Континуанты, взятой относительно одной переменной.
[Ответить]
9 Июнь 2020, 3:46