5. Интегралы. Ряды. Бесконечные произведения. Непрерывные дроби. Бесконечные вложенные радикалы

1. Интегралы

1.1. Одно полезное неравенство

Задача 1. Пусть f и g — взаимно обратные возрастающие функции, определенные на [0;+\infty), интегрируемые на любом отрезке [0;c] и такие, что f(0)=g(0)=0. Доказать, что для всех положительных a и b выполнено неравенство

\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{0}^{b}g(x)dx\ge ab.

Решение.


1.2. Вычисление интегралов с помощью рядов

Задача 2. Доказать, что

\displaystyle \int_{0}^{1}x^xdx=1-{1\over 2^2}+{1\over 3^3}-{1\over 4^4}+\ldots

Решение.

\displaystyle x^x=e^{x\ln x}=1+x\ln x+{(x\ln x)^2\over 2!}+\ldots+{(x\ln x)^n\over n!}+\ldots

Найдем интегрированием по частям

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\int_0^1x^m(\ln x)^ndx=\left.{1\over m+1}x^{m+1}(\ln x)^n\right|_0^1- {n\over m+1}\int_0^1x^m(\ln x)^{n-1}dx=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=-{n\over m+1}\int_0^1x^m(\ln x)^{n-1}dx={n(n-1)\over (m+1)^2}\int_0^1x^m(\ln x)^{n-2}dx=\ldots\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=(-1)^n{n!\over (m+1)^n}\int_0^1x^mdx=(-1)^n{n!\over (m+1)^{n+1}}.<br />
\end{array}

Отсюда получаем требуемое.

2. Ряды. Суммирование рядов

2.1. Непосредственное суммирование

Если u_n=v_{n+1}-v_n (n=1,2,\ldots) и \displaystyle\lim_{n\to\infty}v_n=v_{\infty}, то

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}u_n=v_{\infty}-v_1.

Задача 3. Найти \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n(n+1)}.

Решение. Так как \displaystyle {1\over n(n+1)}={1\over n}-{1\over n+1}, то получаем

\begin{array}{l}\displaystyle \sum_{n=1}^k{1\over n(n+1)}=\sum_{n=1}^k\left({1\over n}-{1\over n+1}\right)=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=1-{1\over 2}+{1\over 2}-{1\over 3}+\ldots+{1\over k}-{1\over k+1}= 1-{1\over k+1}.<br />
\end{array}

Отсюда сумма нашего ряда равна 1.

В частности, если

\displaystyle u_n={1\over a_na_{n+1}\dots a_{n+m}},

где числа a_i (i=1,2,\ldots) образуют арифметическую прогрессию со знаменателем d, то

\displaystyle v_n=-{1\over md}\cdot{1\over a_na_{n+1}\dots a_{n+m-1}}.

2.2. Представление искомого ряда в виде линейной комбинации известных рядов

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}\over n}=\ln 2,\ \sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over 6},\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}\over n^2}={\pi^2\over 12}.

Задача 4. Найти сумму ряда

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\over n^2+n-2}.

Решение. Разложим общий член ряда на простейшие:

\displaystyle {1\over n^2+n-2}={1\over 3(n-1)}-{1\over 3(n+2)}.

Получаем

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\over n^2+n-2}={1\over 3}\sum_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\over n-1}-{1\over<br />
3}\sum_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\over n+2}=\\[3mm]<br />
\displaystyle={1\over 3}\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}\over n}+{1\over 3}\sum_{n=2}^{\infty}{(-1)^{n+3}\over n+2}={1\over 3}\ln2+{1\over 3}\sum_{n=4}^{\infty}{(-1)^{n+1}\over n}=\\[3mm]<br />
\displaystyle={1\over 3}\ln2+{1\over 3}\left(\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}\over n}-1+{1\over 2}-{1\over 3}\right)={2\over 3}\ln2-{5\over 18}.<br />
\end{array}

2.3. Метод Абеля

Если ряд \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n сходится, то

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\lim_{x\to1-0}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.

Сумма степенного ряда \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n в простейших случаях находится с помощью почленного дифференцирования или интегрирования.

Задача 5. Найти сумму ряда

\displaystyle 1-{1\over 4}+{1\over 7}-{1\over 10}+\ldots

Решение. Положим

\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\over 3n+1}x^{3n+1}.

Имеем

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
F^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{3n}=1-x^3+x^6-x^9+\ldots={1\over 1+x^3}=\\[3mm]<br />
\displaystyle={1\over 3(x+1)}+{-x+2\over 3(x^2-x+1)}={1\over 3}\left({1\over x+1}-{x-2\over x^2-x+1}\right).<br />
\end{array}

Интегрируем:

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\int{x-2\over x^2-x+1}dx=\int{x-1/2-3/2\over x^2-x+1}dx=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=\int{x-1/2\over (x-1/2)^2+3/4}dx-{3\over 2}\int{dx\over<br />
(x-1/2)^2+3/4}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over 2}\ln\left[\left( x-{1\over 2}\right)^2+{3\over 4}\right]-{3\over 2}\cdot{4\over 3}\int{dx\over \left({2\over \sqrt{3}}\left( x-{1\over 2}\right)\right)^2+1}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over 2}\ln(x^2-x+1)-2\cdot{\sqrt{3}\over 2}\int{d\left({2\over \sqrt{3}}\left( x-{1\over 2}\right)\right)\over \left({2\over \sqrt{3}}\left( x-{1\over 2}\right)\right)^2+1}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over 2}\ln(x^2-x+1)-\sqrt{3}{\rm arctg}\left({2\over \sqrt{3}}\left( x-{1\over 2}\right)\right)+c\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\int{dx\over 3(x+1)}={1\over 3}\ln|x+1|+c.<br />
\end{array}

Таким образом,

\displaystyle<br />
F(x)={1\over 3}\ln|x+1|+{1\over \sqrt{3}}{\rm arctg}\,\left({2\over \sqrt{3}}\left( x-{1\over 2}\right)\right)-{1\over 6}\ln(x^2-x+1)+c .

Константу c находим из условия F(0)=0: \displaystyle c={\pi\over 6\sqrt{3}}, тогда

\displaystyle<br />
F(x)={1\over 3}\ln|x+1|+{1\over \sqrt{3}}{\rm arctg}\left({2\over \sqrt{3}}\left( x-{1\over 2}\right)\right)-{1\over 6}\ln(x^2-x+1)+{\pi\over 6\sqrt{3}}.

Далее получаем

\displaystyle F(1-0)={1\over 3}\ln2+{\pi\over 3\sqrt{3}}.

Это и есть искомая сумма ряда.

2.4. Суммирование тригонометрических рядов

Для нахождения сумм рядов

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cos nx и \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n\sin nx

их обычно рассматривают соответственно как вещественную и мнимую части суммы степенного ряда в комплексной области \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n, где z=e^{ix}.

Здесь во многих случаях полезен ряд

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{z^n\over n}=\ln{1\over 1-z} \qquad(|z|<1).

Задача 6. Найти сумму ряда

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\cos nx\over n}.

Решение. Этот ряд — вещественная часть степенного ряда

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} {z^n\over n}=\ln{1\over 1-z},\ z=e^{ix},\ 0<|x|<\pi,

где под логарифмом понимаем ту ветвь, где \ln 1=0. Тогда имеем

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\sum_{n=1}^{\infty}{\cos nx\over n}=\Re e\ln{1\over 1-z}=\ln\left|{1\over 1-z}\right|=\ln\left|{1\over 1-\cos x-i\sin x}\right|=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\ln\left|{1-\cos x+i\sin x\over 2-2\cos x}\right|=\ln{1\over \sqrt{2-2\cos x}}= \ln{1\over 2|\sin x/2|}.<br />
\end{array}

3. Бесконечные произведения

Определение. Пусть

p_1,p_2,\ldots,p_n,\ldots

— некоторая бесконечная последовательность чисел. Тогда их произведение

\displaystyle p_1p_2\ldots\cdot p_n\cdot\ldots=\prod_{n=1}^{\infty}p_n

называется бесконечным произведением.

Последовательно перемножая числа p_1,p_2,\ldots,p_n,\ldots, составим последовательность частичных произведений

P_1=p_1,P_2=p_1p_2,P_3=p_1p_2p_3,\ldots,P_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n.

Предел P последовательности частичных произведений (конечный или бесконечный) \{ P_n\} будем называть значением бесконечного произведения.

\displaystyle P=\lim_{n\to\infty}P_n=p_1p_2\cdot\ldots\cdot p_n\cdot\ldots=\prod_{n=1}^{\infty}p_n.

Если бесконечное произведение имеет конечное значение P, при этом отличное от нуля, то само произведение называют сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Достаточно одному из сомножителей быть равным нулю, чтобы и все произведение было равно нулю. В дальнейшем этот случай из рассмотрения будем исключать, так что будем считать, что p_n\ne0.

Задача 7. \displaystyle\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-{1\over n^2}\right).

Так как частичное произведение

\displaystyle P_n=\left(1-{1\over 2^2}\right)\left(1-{1\over 3^2}\right)\ldots\left(1-{1\over n^2}\right)={1\over 2}{n+1\over n}\to{1\over 2},

то бесконечное произведение сходится, и его значением будет 1/2.

Задача 8. Формула Валлиса

\displaystyle {\pi\over 2}=\lim_{n\to\infty}{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot\ldots\cdot2n\cdot2n \over 1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)(2n+1)}

равносильна разложению числа \pi/2 в бесконечное произведение

\displaystyle {\pi\over 2}={2\over 1}\cdot{2\over 3}\cdot{4\over 3}\cdot{4\over 5}\cdot\ldots\cdot{2n\over 2n-1}\cdot{2n\over 2n+1}\cdot\ldots

Она же приводит к формулам

\displaystyle \prod_{m=1}^{\infty}\left[1-{1\over (2m+1)^2}\right]={\pi\over 4},\ \prod_{m=1}^{\infty}\left[1-{1\over 4m^2}\right]={2\over \pi}.

Для доказательства формулы Валлиса рассмотрим интегралы

\displaystyle J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^mxdx,\ J_m^{\prime}=\int_0^{\pi/2}\cos^mxdx

при натуральном m.

Интегрируя по частям, имеем

\begin{array}{l}\displaystyle J_m=\int_0^{\pi/2}\sin^{m-1}xd(-\cos x)=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=\left.-\sin^{m-1}x\cos x\right|_0^{\pi/2}+(m-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{m-2}x\cos^2xdx.\end{array}

Двойная подстановка обращается в нуль. Заменяя cos^2x=1-\sin^2x, имеем

J_m=(m-1)J_{m-2}-(m-1)J_m,

откуда получаем рекуррентную формулу

\displaystyle J_m={m-1\over m}J_{m-2},

по которой интеграл J_m последовательно приводится к J_0 или J_1. Так, при m=2n имеем

\displaystyle<br />
J_{2n}=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}xdx={(2n-1)(2n-3)\cdot\ldots\cdot3\cdot1\over 2n(2n-2)\cdot\ldots\cdot4\cdot2}\cdot{\pi\over 2}={(2n-1)!!\over (2n)!!}\cdot {\pi\over 2},

при m=2n+1 имеем

\displaystyle J_{2n+1}=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}xdx={2n(2n-2)\cdot\ldots\cdot4\cdot2\over (2n+1)(2n-1)\cdot\ldots\cdot3\cdot1}={(2n)!!\over (2n+1)!!}.

Такие же точно результаты получаются и для J_m^{\prime}.

Замечание. Символом n!! обозначается произведение натуральных чисел, не превосходящих n и одной с ним четности.

Иначе полученный результат можно записать так:

\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^mxdx=\int_0^{\pi/2}\cos^mxdx=<br />
\left\{ \begin{array}{ll}<br />
\displaystyle<br />
{(m-1)!!\over m!!}\cdot{\pi\over 2}& m=2l,(l\in\mathbb{Z}),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{(m-1)!!\over m!!}&m=2l+1,(l\in\mathbb{Z}).<br />
\end{array}\right.

Предполагая, что 0<x<\pi/2, имеем неравенства

\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x.

Интегрируем эти неравенства на промежутке от 0 до \pi/2:

\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}xdx<\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}xdx<\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1}xdx.

Отсюда в силу формулы для интеграла \sin^mx имеем

\displaystyle {(2n)!!\over (2n+1)!!}<{(2n-1)!!\over (2n)!!}\cdot{\pi\over 2}<{(2n-2)!!\over (2n-1)!!}

или

\displaystyle<br />
\left[{(2n)!!\over (2n-1)!!}\right]^2\cdot{1\over 2n+1}<{\pi\over 2}<\left[ {(2n)!!\over (2n-1)!!}\right]^2\cdot{1\over 2n}.

Так как разность между двумя крайними выражениями

\displaystyle<br />
{1\over 2n(2n+1)}\left[{(2n)!!\over (2n-1)!!}\right]^2<{1\over<br />
2n}\cdot{\pi\over 2}

очевидно стремится к нулю при n\to\infty, то \pi/2 является их общим пределом. Итак,

\displaystyle<br />
{\pi\over 2}=\lim_{n\to\infty}{1\over 2n+1}\left[{(2n)!!\over<br />
(2n-1)!!}\right]^2

или

\displaystyle<br />
{\pi\over 2}=\lim_{n\to\infty}{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot\ldots\cdot2n\cdot 2n \over 1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)(2n+1)}.

Получили формулу Валлиса. Она имеет историческое значение как первое представление числа \pi в виде предела легко вычисляемой рациональной последовательности.

4. Бесконечные вложенные радикалы

Пусть c>0, определим последовательность x_n так:

\displaystyle<br />
x_1=\sqrt{c},x_2=\sqrt{c+\sqrt{c}},x_3=\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}},\ldots

и вообще

\displaystyle<br />
x_n=\underbrace{\sqrt{c+\sqrt{c+\dots+\sqrt{c}}}}_{n}.

Таким образом, x_{n+1} получается из x_n по формуле

x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}.

Ясно, что последовательность x_n монотонно возрастает. В то же время она ограничена сверху, например, числом \sqrt{c}+1. Действительно, x_1=\sqrt{c} меньше этого числа; если допустить теперь, что какое-либо значение x_{n}<\sqrt{c}+1, то и для следующего значения получаем

\displaystyle x_{n+1}<\sqrt{c+\sqrt{c}+1}<\sqrt{c+2\sqrt{c}+1}=\sqrt{c}+1.

Таким образом, наше утверждение доказано по методу математической индукции.

По теореме о монотонной ограниченной последовательности, последовательность x_n имеет конечный предел a. Для его нахождения, перейдем к пределу в равенстве

x_{n+1}^2=c+x_n;

получим, таким образом, что a удовлетворяет квадратному уравнению

a^2=c+a.

Уравнение это имеет корни разных знаков; но интересующий нас предел a не может быть отрицательным, следовательно, равен именно положительному корню:

\displaystyle a={\sqrt{4c+1}+1\over 2}.

Замечание. С непрерывными дробями можно действовать аналогичным образом.

Задачи.

1. Докажите, что последовательность

\sqrt{7},\sqrt{7-\sqrt{7}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}},\sqrt{7- \sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}},\ldots

сходится и найти ее предел.

2. Пусть

\displaystyle a_n=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{\ldots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}}}.

Докажите, что \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=3.

3. Докажите неравенства

\displaystyle 9<\int_0^3\sqrt[4]{x^4+1}dx+\int_1^3\sqrt[4]{x^4-1}x<9.0001.

4. Пусть a,b — положительные числа. Докажите, что

e^a+(b+1)\ln(b+1)\ge(a+1)(b+1).

5. Выразите

\displaystyle \left(2207-{1\over 2207-{1\over 2207-{1\over 2207-\dots}}}\right)^{1\over 8}

в виде \displaystyle {a+b\sqrt{c}\over d}, где a,b,c,d\in\mathbb{N}.

6. Найдите

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{1\over k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt{k}}.

7. Найдите \displaystyle\lim_{n\to\infty}{1\over n^2}\sum_{k=1}^n[kx]. Здесь [\alpha] — целая часть числа \alpha.

8. Последовательность x_n такая, что

\displaystyle x_1={1\over 2},\ x_{n+1}=\sqrt{1-\sqrt{1-x_n^2}\over 2},\ n=1,2,\ldots

Докажите, что

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_n<1,025.

9. Найдите

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\prod_{k=2}^n{k^3-1\over k^3+1}.

10. Вычислить \displaystyle \int_0^{\infty}{x^3dx\over e^x-1}, считая известным, что \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{1\over k^4}={\pi^4\over 90}.

11. Найдите \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^N{n\over N+i^2}, N=n^2.

12. Найдите \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\ln\sin xdx.

13. Вычислите интеграл

\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin(\sin x+nx)dx.

14. Найдите

\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(x)dx,\ f(x)={1\over 1+{\rm tg}^{\sqrt{2}}x}.

15. Пусть \displaystyle f(z)=\int_{0}^{z}\sqrt{x^4+(z-z^2)^2}dx. Найдите \max f(z) при 0\le z\le1.

16. Последовательность функция f_n(x) определяется следующим образом: f_0(x)=e^x, f_{n+1}(x)=xf^{\prime}_n(x). Докажите \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{f_n(1)\over n!}=e^e.

17. Найдите

\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}{1\over i^2j+2ij+ij^2}.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение