3. Полиномы

1. Теорема о делении с остатком

Теорема (о делении с остатком). Для данных полиномов f,g (g\ne0) существуют и единственны полиномы q и r такие, что

f=gq+r,

где \deg r<\deg g.

Пример 1. Известно, что остаток от деления полинома P(x) на x-1 равен 2, от деления P(x) на x-3 равен 1. Найдите остаток от деления P(x) на x^2-4x+3.

Решение. Пусть

P(x)=(x^2-4x+3)Q(x)+R(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b,\ \deg R\le1.

Тогда 2=P(1)=a+b, 1=P(3)=3a+b. Отсюда a=-1/2, b=5/2.

Пример 2. Определить, будет ли полином p(x)=x^{2004}+x^4-1004x^2+1002 делиться на (x-1)^2.

Решение. Пусть p(x)=(x-1)^2q(x)+ax+b. Тогда, как и в предыдущей задаче, a+b=0. Теперь продифференцируем равенство по x:

p^{\prime}(x)=2(x-1)q(x)+(x-1)^2q^{\prime}(x)+a,

и p^{\prime}(1)=0=a. Отсюда следует делимость. 1 — корень p(x) кратности 2.

2. Теорема Виета

Теорема Виета. Пусть корни многочлена

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n

равны \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n. Тогда

\begin{array}{l}<br />
\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=-a_1/a_0,\\<br />
\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\ldots+\lambda_{n-1}\lambda_n=a_2/a_0,\\<br />
\lambda_1\lambda_2\lambda_3+\ldots+\lambda_{n-2}\lambda_{n-1}\lambda_n=-a_3/a_0,\\<br />
\ldots,\\<br />
\lambda_1\lambda_2\ldots \lambda_n=(-1)^na_n/a_0.<br />
\end{array}

Пример 3. Известно, что уравнение

x^4+(a^2-4)x^3-4x^2+a=0

имеет 4 вещественных корня, сумма которых равна 0. Найти a.

Решение. По теореме Виета a=\pm2. Осталось проверить, при каком a уравнение имеет 4 вещественных корня. a=2.

3. Суммы Ньютона

Пусть f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n\in\mathbb{C}[x], a_0\ne0. Обозначим \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n его корни. И полином f(x)=a_0(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\ldots(x-\lambda_n).

Определение. Выражение

s_k=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\dots+\lambda_n^k

называется k-ой суммой Ньютона полинома f(x).

Найдем выражение s_k через коэффициенты f(x). Для этого рассмотрим дробь

\begin{array}{l}</p>
<p>\displaystyle<br />
{f^{\prime}(x)\over f(x)}={(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)\dots(x-\lambda_n)+(x-\lambda_1)(x-\lambda_3)\dots(x-\lambda_n)\over<br />
(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots(x-\lambda_n)}+\\[3mm]<br />
\displaystyle \ldots+{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2) \ldots(x-\lambda_{n-1})\over (x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\dots(x-\lambda_n)} =\sum_{j=1}^n{1\over x-\lambda_j}.<br />
\end{array}

Разложим теперь каждую дробь \displaystyle {1\over x-\lambda_j} по степеням \displaystyle {1\over x}:

\displaystyle {1\over x-\lambda_j}={1\over x}\left(1+{\lambda_j\over x}+{\lambda_j^2\over x^2}+\dots\right)={1\over x}+{\lambda_j\over x^2}+{\lambda_j^2\over x^3}+\ldots+{\lambda_j^k\over x^{k+1}}+\ldots

и подставим в первое равенство:

\begin{array}{ll}<br />
\displaystyle<br />
{f^{\prime}(x)\over f(x)}&<br />
\displaystyle={1\over x}+{\lambda_1\over x^2}+{\lambda_1^2\over x^3}+\dots+{\lambda_1^k\over x^{k+1}}+\ldots+\\[3mm]<br />
&\displaystyle<br />
+{1\over x}+{\lambda_2\over x^2}+{\lambda_2^2\over<br />
x^3}+\dots+{\lambda_2^k\over x^{k+1}}+\ldots+\\[3mm]<br />
&\displaystyle<br />
+{1\over x}+{\lambda_n\over x^2}+{\lambda_n^2\over<br />
x^3}+\dots+{\lambda_n^k\over x^{k+1}}+\ldots=\\[3mm]<br />
&\displaystyle<br />
={s_0\over x}+{s_1\over x^2}+{s_2\over x^3}+\dots+{s_k\over x^{k+1}}+\ldots<br />
\end{array}

Домножим обе части этого равенства на f(x), получим

тождество

\displaystyle f^{\prime}(x)\equiv f(x)\left({s_0\over x}+{s_1\over x^2}+{s_2\over x^3}+\dots+{s_k\over x^{k+1}}+\dots\right).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в этом тождестве, получаем равенства:

\begin{array}{llclccccc}<br />
x^{n-1}&:&na_0&=a_0s_0,&&&&&\\<br />
x^{n-2}&:&(n-1)a_1&=a_1s_0&+a_0s_1,&&&&\\<br />
x^{n-3}&:&(n-2)a_2&=a_2s_0&+a_1s_1&+a_0s_2,&&&\\<br />
\ldots&&&&&&&&\\<br />
1&:&a_{n-1}&=a_{n-1}s_0&+a_{n-2}s_1&+\dots&+a_0s_{n-1},&&\\<br />
x^{-1}&:&0&=a_ns_0&+a_{n-1}s_1&+\dots&+a_1s_{n-1}&+a_0s_n,&\\<br />
x^{-2}&:&0&=&a_ns_1&+\dots&+a_2s_{n-1}&+a_1s_n&+a_0s_{n+1},\\<br />
\ldots&&&&&&&&<br />
\end{array}

Разрешая их последовательно, получаем рекурсивные формулы Ньютона для s_k:

\begin{array}{l}<br />
s_0=n,\ s_1=-a_1/a_0,\\<br />
s_k=\left\{\begin{array}{lll}<br />
-(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+ka_k)/a_0& k\le n;\\<br />
-(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0& k>n.<br />
\end{array}\right.<br />
\end{array}

Пример 4. Доказать, что

\displaystyle s_k=(-1)^k\left|\begin{array}{ccccc}<br />
a_1&1&0&\ldots&0\\<br />
2a_2&a_1&1&\ldots&0\\<br />
3a_3&a_2&a_1&\ldots&0\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
ka_k&a_{k-1}&a_{k-2}&\dots&a_1<br />
\end{array}\right|,
где s_k — суммы Ньютона полинома f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n.

Решение. Запишем выражения для s_1,s_2,\ldots,s_k

\begin{array}{l}<br />
s_1=-a_1,\\<br />
s_2+a_1s_1=-2a_2,\\<br />
s_3+a_1s_2+a_2s_1=-3a_3,\\<br />
\ldots,\\<br />
s_k+a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1=-ka_k.<br />
\end{array}

Рассмотрим эти равенства как систему линейных уравнений относительно s_1,\ldots,s_k и выразим s_k по формулам Крамера:

s_k={\left|\begin{array}{ccccc}<br />
1&0&0&\dots&-a_1\\<br />
a_1&1&0&\dots&-2a_2\\<br />
a_2&a_1&1&\dots&-3a_3\\<br />
\dots&&&&\\<br />
a_{k-1}&a_{k-2}&a_{k-3}&\dots&-ka_k<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccccc}<br />
1&0&0&\dots&0\\<br />
a_1&1&0&\dots&0\\<br />
a_2&a_1&1&\dots&0\\<br />
\dots&&&&\\<br />
a_{k-1}&a_{k-2}&a_{k-3}&\dots&1<br />
\end{array}\right|}

Далее, учитывая, что знаменатель равен единице, переставляем столбцы в числителе и приходим к нужному нам равенству.

Пример 5. Вычислить сумму

\displaystyle {1\over 2-x_1}+{1\over 2-x_2}+{1\over 2-x_3},<br />

где x_1,x_2,x_3 — корни полинома \varphi(x)=x^3-3x-1.

Ответ. \displaystyle {\varphi^{\prime}(2)\over \varphi(2)}=9.

Решение.

\displaystyle {\varphi^{\prime}(x)\over \varphi(x)}={1\over x-x_1}+{1\over x-x_2}+{1\over x-x_3},

так как полином \varphi(x) не имеет кратных корней: его дискриминант \displaystyle {\cal D}(\varphi(x))={9\over 4}-{1\over 27}\ne0. Отсюда ответ.

4. Теорема Лагранжа

Рассмотрим полином

W(x) = (x-x_1)\times  \dots \times (x-x_n), \ \deg W=n.

Теорема. Пусть числа x_1,\ldots,x_n все различны. Для полинома W(x) справедливы следующие равенства Эйлера — Лагранжа:

\displaystyle \sum_{j=1}^n \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)}=<br />
\left\{\begin{array}{ll}0 & if\ k< n-1; \\<br />
1 & if\ k= n-1.\end{array}\right.

Доказательство. Построим интерполяционный полином по следующей таблице:

\begin{array}{c|ccc}<br />
\arraycolsep=1cm<br />
x & x_1 & \dots & x_n \\ \hline<br />
y & x_1^k & \dots & x_n^k<br />
\end{array}

С одной стороны, ответ известен заранее: f(x)\equiv x^k. С другой стороны, формула интерполяционного полинома Лагранжа дает его же в виде суммы:

x^k \equiv \sum_{j=1}^n x_j^k \frac{W(x)}{W^{\prime}(x_j)(x-x_j)} \equiv \underbrace{x^{n-1}\sum_{j=1}^n \frac{x_j^k}{W^{\prime}(x_j)}+ \ldots} .

В этом тождестве степени полиномов слева и справа должны быть одинаковыми.

Если k< n-1, то старший коэффициент правого полинома должен обратиться в нуль. Если же k= n-1, то должны совпасть старшие коэффициенты обоих полиномов.

5. Результант и дискриминант

Для полиномов f(x), g(x)\in \mathbb{C} [x]

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n, g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m

(a_0\ne0, b_0\ne0) составим квадратную матрицу порядка m+n:

\begin{minipage}[t]{6.5cm}<br />
\mbox{}\vskip-9.3mm<br />
$M=\left(\begin{array}[l]{cccccccc}<br />
a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&0\\<br />
0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&0\\<br />
&&&\ldots&&&&\\<br />
0&0&\ldots&a_0&a_1&\ldots&&a_n\\<br />
0&0&\ldots&&b_0&b_1&\ldots&b_m\\<br />
0&0&\ldots&b_0&b_1&\ldots&b_m&0\\<br />
&&&\ldots&&&&\\<br />
b_0&\ldots&\ldots&b_m&0&\ldots&0&0<br />
\end{array}\right)$<br />
\end{minipage}\hfill<br />
\begin{minipage}[t]{4.25cm}<br />
\mbox{}\vskip-9.8mm\hskip16mm<br />
$\begin{array}{l}<br />
\left.\begin{array}{l}<br />
\\ \\ \\ \\<br />
\end{array}\right\} m<br />
\\<br />
\left.\begin{array}{l}<br />
\\ \\ \\ \\<br />
\end{array}\right\} n<br />
\end{array}, $<br />
\end{minipage}

элементы выше a_n и b_0, и ниже a_0 и b_m все равны нулю.

Определение. Выражение

{\cal R}(f,g)\stackrel{def}{=}(-1)^{n(n-1)/2} \det M

называется результантом полиномов f(x) и g(x) (в форме Сильвестра).

Теорема. Для полиномов f(x) и g(x)

{\cal R}(f,g)=a_0^m\prod_{j=1}^n g(\lambda_j) ,

Теорема. Для того чтобы f(x) и g(x) имели общий корень, необходимо и достаточно выполнение условия {\cal R}(f,g)=0.

Для того чтобы полином f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n\in\mathbb{C} [x] имел кратный корень необходимо и достаточно, чтобы он имел общий корень со своей производной f^{\prime}(x). Для этого необходимо и достаточно, чтобы {\cal R}(f,f^{\prime})=0.

Соответствующий определитель
D=\left|\begin{array}{ccccccc}<br />
a_0&a_1&\ldots&a_n&&&\\<br />
&a_0&a_1&\ldots&a_n&\mathbb{O}&\\<br />
&&\ddots&\ddots&&&\\<br />
&&&a_0&a_1&\ldots&a_n\\<br />
&\mathbb{O}&&&na_0&\ldots&a_{n-1}\\<br />
&&&na_0&\ldots&a_{n-1}\\<br />
&&\ldots&&&\mathbb{O}&\\<br />
na_0&\ldots&a_{n-1}&&&&<br />
\end{array}\right|

будет делиться на a_0 (общий множитель элементов первого столбца).

Определение. Выражение D/a_0 называется дискриминантом полинома f(x) и обозначается {\cal D}(f):

{\cal D}(f)\stackrel{def}{=}D/a_0=(-1)^{n(n-1)/2}{\cal R}(f,f^{\prime})/a_0.

Упражнение. Докажите, что

\displaystyle{\cal D}(f)=a_0^{2n-2}\prod_{1\le j<k\le n}(\lambda_k-\lambda_j)^2.

Здесь \lambda_1,\dots, \lambda_n — корни f(x).

Теорема. Полином f(x) имеет кратный корень тогда и только тогда, когда {\cal D}(f)=0.

Пример 6. Охарактеризовать число вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами по знаку дискриминанта для полинома третьей степени, для полинома четвертой степени и в общем случае.

Решение. В общем случае, если дискриминант положителен, то число пар комплексно-сопряженных корней четное, если дискриминант отрицателен, — то нечетное.

Для полинома третьей степени, если {\cal D}>0, то все корни вещественны, если {\cal D}<0, то два корня комплексно-сопряженные.

Для полинома четвертой степени при {\cal D}>0 или все корни вещественные, или все корни комплексные. При {\cal D}<0 имеется два вещественных корня и одна пара сопряженных комплексных.

Задачи

1. Найдите многочлен p четвертой степени со старшим коэффициентом единицей, у которого число -2 является корнем кратности 3, а остаток от деления p(x) на x-3 равен -1.

2. Многочлен p(x) с целыми коэффициентами представлен в виде

p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)q(x)+1,

где x_1,x_2,x_3 — различные целые числа, а q(x) — некоторый многочлен. Может ли многочлен p(x) иметь целые корни?

3. a и b — различные вещественные числа. Найдите остаток от деления полинома P(x) на (x-a)^2(x-b).

4. P(x) — полином с целыми коэффициентами. Для некоторого натурального c ни одно из чисел P(1),P(2),\ldots, P(c) не делится на c. Докажите, что полином P(x) не имеет целых корней.

5. Корни полинома x^3+ax^2+bx+c\alpha,\beta,\gamma. Найдите кубическое уравнение, корнями которого являются \alpha^3,\beta^3,\gamma^3.

6. Доказать, что если четыре различных точки кривой

y=2x^4+7x^3+3x-5

лежат на одной прямой, то среднее арифметическое их абсцисс есть константа. Найдите эту константу.

7. Пусть P(x)=Ax^2+Bx+C. Пусть уравнение P(x)=x имеет различные вещественные корни. Докажите, что эти корни являются также корнями уравнения P(P(x))=x. Найдите квадратное уравнение для двух других корней этого уравнения. Решите

(y^2-3y+2)^2-3(y^2-3y+2)+2-y=0.

8. Найдите полином f(x) с вещественными коэффициентами, f(0)=1, такой, что суммы квадратов коэффициентов (f(x))^n и (3x^2+7x+2)^n одинаковы для всех n\in\mathbb{N}.

9. Вещественный полином p(x) такой, что для любого полинома q(x) p(q(x))=q(p(x)). Найти все такие полиномы p(x).

10. Пусть \varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n — корни степени n из 1. Найти \displaystyle\prod_{i<j}(\varepsilon_i-\varepsilon_j)^2.

11. Пусть f(x) — многочлен n-й степени, а f^{\prime}(x) — его производная. Составим разности между каждым из корней уравнения f(x)=0 и каждым из корней уравнения f^{\prime}(x)=0.

Вычислите сумму величин, обратных полученным разностям.

12. Доказать, что если для некоторого натурального p>0

\displaystyle {a_1\over p+1}+{a_2\over p+2}+\ldots{a_n\over p+n}=0,

то полином

a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\ldots+a_1

имеет корень между 0 и 1.

13. Доказать, что многочлены (z+1)^{2003}+1 и z^{20}-2002z^{10}-2003 не имеют общих комплексных корней.

14. Пусть s_0,s_1,s_2,\ldots — суммы Ньютона полинома

p(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n.

Найти полином P(x)=x^n+A_1x^{n-1}+\dots+A_{n-1}x+A_n такой, что его суммы Ньютона равны -s_m (m=\overline{1,n}).

Подробнее о полиномах (и не только) см. на сайте: http://pmpu.ru/vf4/

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение