2. Функциональные уравнения

Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

\begin{array}{l}<br />
f(x)+xf(x+1)=1,\\[2mm]<br />
\displaystyle f(x)+g(1-x)=f\left( g\left({2\over x+1}\right)\right).<br />
\end{array}

Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).

Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.

Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.

Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.

Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.

Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Рассмотрим основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.

Идея непрерывности

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x_0, если выполняются следующие два условия:

1) точка x_0 принадлежит области определения функции f (x_0\in D_f);

2) \displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), разумеется, в предположении, что этот предел существует.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, функция f(x) не является непрерывной в точке x_0, она будет разрывной в этой точке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех точках этого отрезка.

Справедлива следующая теорема:

Теорема Больцано — Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то она принимает все промежуточные между A и B значения на отрезке [a,b].

Пример 1. Функция f непрерывна на всей вещественной прямой и удовлетворяет равенству f(f(x))=x для всех x. Доказать, что уравнение f(x)=x имеет хотя бы одно решение.

Решение. Рассмотрим функцию g(x)=f(x)-x. Предположим, что f(x)\ne x для всех x. Тогда в силу непрерывности g либо g(x)>0 для всех x, либо g(x)<0 для всех x. (Если бы существовали такие a и b, что g(a)g(b)<0, то по теореме Больцано — Коши, внутри отрезка [a,b] была бы точка, в которой g обращалась бы в нуль, что противоречит предположению.

Пусть для определенности g(x)<0, то есть f(x)<x для всех x. Обозначим y=f(x)<x. Тогда, так как f(f(x))=x, то f(y)=x>y, что противоречит тому, что f(x)<x. Значит, при некотором x имеем f(x)=x.

Пример 2. Функция f задана на всей вещественной оси, причем выполняется равенство

f(x+1)f(x)+f(x+1)+1=0.

Доказать, что f не может быть непрерывной.

Решение. Функция f не может принимать значение -1. Действительно, при f(x)=-1 имеем 1=0. Значит, для всех x f(x)>-1 или f(x)<-1. Выразим из нашего равенства f(x+1):

\displaystyle f(x+1)=-{1\over f(x)+1}.

Значит, неравенство f(x)<-1 невозможно, иначе f(x+1)>0.

Если же f(x)>-1, то должно выполняться неравенство \displaystyle -{1\over f(x)+1}>-1, откуда f(x)>0 и

\displaystyle f(x+2)=-{1\over f(x+1)+1}=-{1\over -{1\over f(x)+1}+1}=-{f(x)+1\over f(x)}= -\left(1+{1\over f(x)}\right).

следовательно, получаем, что f(x+2)<-1. Противоречие.

Пример 3. Найти все непрерывные функции f(x), удовлетворяющие соотношению f(2x)=f(x) для любого x.

Решение. В данное уравнение подставим вместо x x/2 (это можно сделать, так как функция определена для всех x), и еще несколько раз проделаем то же самое, получим

\displaystyle f(x)=f\left({x\over 2}\right)=f\left({x\over 4}\right)=\ldots=f\left({x\over 2^n}\right)=\ldots

По непрерывности функции f в нуле имеем

\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}f(x)=\lim_{n\to\infty}f\left({x\over 2^n}\right)=f\left(\lim_{n\to\infty}{x\over 2^n}\right)=f(0).

Получили, что f(x)=f(0)=c, то есть функция f — постоянная.

Уравнения Коши

1. Уравнение

f(x+y)=f(x)+f(y)

в классе непрерывных функций имеет решение f(x)=ax.

Такое же решение оно имеет и в классе монотонных функций.

2. Уравнение

f(x+y)=f(x)f(y)

в классе непрерывных функций имеет решение f(x)=a^x (если не считать f(x)\equiv0).

3. Уравнение

f(xy)=f(x)+f(y),\qquad x,y>0

в классе непрерывных функций имеет решение f(x)=\log_ax (если не считать f(x)\equiv0).

4. Уравнение

f(xy)=f(x)f(y),\qquad x,y>0

в классе непрерывных функций имеет решение f(x)=x^a (если не считать f(x)\equiv0).

Метод сведения функционального уравнения к известному с помощью замены переменной и функции

Пример 4. Найти все непрерывные функции, удовлетворяющие уравнению

f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.

Решение. В качестве вспомогательной функции возьмем функцию

g(x)=f(x)-x^2.

Подставляя в исходное уравнение f(x)=g(x)+x^2, получаем

\begin{array}{l}<br />
g(x+y)+(x+y)^2=g(x)+x^2+g(y)+y^2+2xy,\\<br />
g(x+y)=g(x)+g(y),<br />
\end{array}
то есть функция g(x) удовлетворяет первому уравнению Коши, откуда f(x)=g(x)+x^2=ax+x^2.

Пример 5. Найти все непрерывные функции f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, удовлетворяющие уравнению

f(xy)=xf(y)+yf(x).

Решение. Поделим уравнение на xy, получим

\displaystyle {f(xy)\over xy}={f(y)\over y}+{f(x)\over x}.

Введем вспомогательную функцию \displaystyle g(x)={f(x)\over x}, тогда получим уравнение

g(xy)=g(x)+g(y),

то есть функция g(x) удовлетворяет третьему уравнению Коши, откуда f(x)=x\log_ax.

Метод подстановок

Пример 6. Найти все решения функционального уравнения

f(xy)=y^kf(x)\qquad(k\in\mathbb{N}).

Решение. Положим x=0, имеем f(0)=y^kf(0). Поскольку y произвольно, то f(0)=0.

Пусть теперь x\ne0. Подставив в уравнение y=1/x, получим

\displaystyle f(1)=\left({1\over x}\right)^kf(x),

откуда f(x)=ax^k, где a=f(1).

Нетрудно убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет исходному функциональному уравнению.

Пример 7. Пусть a\ne\pm1 — некоторое вещественное число. Найти функцию f(x), определенную при всех x\ne1 и удовлетворяющую уравнению

\displaystyle f\left({x\over x-1}\right)=af(x)+\varphi(x),

где \varphi(x) — заданная функция, определенная при всех x\ne1.

Решение. При замене \displaystyle x\to{x\over x-1} выражение \displaystyle {x\over x-1} переходит в x. Получаем систему уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
f\left({x\over x-1}\right)=af(x)+\varphi(x),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
f(x)=af\left({x\over x-1}\right)+\varphi\left({x\over x-1}\right),<br />
\end{array}\right.

решением которой при a^2\ne1 является функция

\displaystyle f(x)={a\varphi(x)+\varphi\left({x\over x-1}\right)\over 1-a^2}.

Предельный переход

Пример 8. Функция f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} непрерывна в точке 0 и \forall x\in\mathbb{R} выполняется равенство

2f(2x)=f(x)+x.

Найти все такие f.

Решение. Пусть функция f удовлетворяет условию задачи. Тогда

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
f(x)={1\over 2}f\left({x\over 2}\right)+{x\over 4}={1\over 2}\left({1\over 2}\left( f\left({x\over 4}\right)+{x\over 8}\right)\right)+{x\over 4}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over 4}f\left({x\over 4}\right)+{x\over 16}+{x\over 4}=\ldots={1\over 2^n}f\left({1\over 2^n}\right)+{x\over 2^{2n}}+{x\over 2^{2n-2}}+\dots+{x\over 4}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{n\to\infty}{1\over 2^n}f\left({1\over 2^n}\right)+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{x\over 4^k}={x\over 3}.<br />
\end{array}

Проверка показывает, что f(x)=x/3 действительно является решением.

Пример 9. Найти функцию f(x), ограниченную на любом конечном интервале и удовлетворяющую уравнению

\displaystyle f(x)-{1\over 2}f\left({x\over 2}\right)=x-x^2.

Решение. x=0\Rightarrow f(x)=0.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{1\over 2}f\left({x\over 2}\right)-{1\over 4}f\left({x\over 4}\right)={x\over 4}-{x^2\over 8},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{1\over 4}f\left({x\over 4}\right)-{1\over 8}f\left({x\over 8}\right)={x\over 16}-{x^2\over 64},\\[3mm]<br />
\ldots,\\<br />
\displaystyle<br />
{1\over 2^n}f\left({1\over 2^n}\right)-{1\over 2^{n+1}}f\left({x\over 2^{n+1}}\right)={x\over 4^n}-{x\over 8^n}.<br />
\end{array}

Сложим все эти равенства:

\displaystyle f(x)-{1\over 2^{n+1}}f\left({x\over 2^{n+1}}\right)=

\displaystyle =x\left(1+{1\over 4}+{1\over 4^2}+\dots+{1\over 4^n}\right)-x^2\left(1+{1\over 8}+{1\over 8^2}+\dots+{1\over 8^n}\right) .

Перейдем к пределу при n\to\infty. Учитывая ограниченность f(x) в нуле и то, что f(0)=0, получаем

\displaystyle f(x)={4\over 3}x-{8\over 7}x^2.

Производная и функциональные уравнения

Пример 10. Найти все вещественные дифференцируемые функции f(x), удовлетворяющие уравнению

\displaystyle f(x+y)={f(x)+f(y)\over 1-f(x)f(y)}.

Решение. Пусть x=y=0. Имеем \displaystyle f(0)={2f(0)\over 1-f^2(0)}, откуда f(0)=0.

После преобразований имеем

\displaystyle {f(x+h)-f(x)\over h}={f(h)\over h}\cdot{1+f^2(x)\over 1-f(x)f(h)} .

Переходим к пределу при h\to0, учитывая, что \displaystyle \lim_{h\to0}f(h)=0, получаем

f^{\prime}(x)=c(1+f^2(x)) ,

где c=f^{\prime}(0). Интегрируем:

\displaystyle \int{dy\over 1+y^2}=\int cdx,

откуда {\rm arctg}\, f(x)=cx+c_1 и f(x)={\rm tg}\, (cx+c_1). Так как f(0)=0, то c_1=0, и f(x)={\rm tg}\, (cx).

Проверкой убеждаемся, что все эти функции — решения исходного уравнения.

Пример 11. Найти все функции f(x), являющиеся решениями уравнения

f^{\prime}(x)+xf(-x)=ax,\quad x\in\mathbb{R},\ a=const

Решение. x\to-x: f^{\prime}(-x)-xf(x)=-ax.

Введем новые функции:

\displaystyle F(x)={f(x)+f(-x)\over 2},\ G(x)={f(x)-f(-x)\over 2}.

Функция F(x) — четная, а G(x) — нечетная, f(x)=F(x)+G(x), и для этих функций имеем

\begin{array}{cc}<br />
G^{\prime}(x)-xG(x)=0&F’(x)+xF(x)=ax,\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
G(x)=ce^{x^2\over 2}&F(x)=a+Ae^{-{x^2\over 2}}.<br />
\end{array}

Поскольку G(-x)=-G(x), то G(x)\equiv0 и \displaystyle f(x)=a+Ae^{-{x^2\over 2}}.

Проверкой убеждаемся, что все такие f(x) — действительно решение.

Решение функциональных уравнений на множестве натуральных чисел

Пример 12. Каждому натуральному числу n поставлено в соответствие целое неотрицательное число f(n) так, что выполняются следующие условия:

1) f(mn)=f(m)+f(n) для любых двух натуральных чисел m и n;

2) f(n)=0, если последняя цифра в десятичной записи числа n равна 3;

3) f(10)=0.

Доказать, что f(n)=0 для любого натурального n.

Решение. Поскольку f(10)=0, f(10)=f(2)+f(5), f(5)\ge0, f(2)\ge0, то f(2)=f(5)=0.

Любое натуральное число n можно представить в виде n=2^k5^mb, где Н.О.Д.(b,10)=1, иначе b=10l\pm1 или b=10l\pm3. Отсюда b^4\equiv1\pmod{10} или b^4=10l+1. f(3b^4)=0=f(3)+4f(b), откуда f(b)=0.

Задачи

1. \forall x,y\in\mathbb{R}

f(x+y)=f(x)+f(y)+80xy.

Найдите f(4/5), если f(1/4)=2.

2. Найти все непрерывные функции f(x) такие, что

f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x.

3. Пусть X=\mathbb{R}\setminus\{0,1\}. Найти все вещественнозначные функции f(x) на X:

\displaystyle f(x)+f\left( 1-{1\over x}\right)=1+x\ \forall x\in X.

4. Найдите все функции f(x) такие, что

\displaystyle 3f(-x)+f\left({1\over x}\right)+f(x)=x.

5. Найти все непрерывные функции f(x), удовлетворяющие уравнению

\displaystyle f(x)=x(x+1)+f\left({x\over 2}\right).

6. Решите уравнение

f(x+y)-f(x-y)=4xy.

7. Найдите решение уравнения

f(x)=f(x-1)+a^x, если f(1)=1,

a — постоянная, в классе функций натурального аргумента.

8. Найти все полиномы f(x): f(0)=0 и

f(x^2+1)=(f(x))^2+1.

9. Существует ли непрерывная функция f(x), определенная на всей вещественной оси \mathbb{R}, такая, что f(f(x))=e^{-x} для всех x\in\mathbb{R}?

10. Пусть функция f:[a,b]\to\mathbb{R} при всех x,y\in[a,b] удовлетворяет соотношению

|f(x)-f(y)|\le M|x-y|^{\alpha},\qquad M>0,\alpha>1.

Докажите, что f — постоянная функция.

11. Найдите непрерывно-дифференцируемое решение функционального уравнения

\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\left({x^2\over 3}+{xy\over 2}+{y^2\over 3}\right),\quad x,y\in\mathbb{R},

удовлетворяющее условию f(2)=-2.

12. В предположении, что существует единственная функция f(x), такая, что

\displaystyle f(0)=1,\ f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^1f(t)dt,

надите ее.

13. Пусть \alpha\in\mathbb{R}. Найдите все непрерывные функции f:[0,1]\to(0,+\infty):

\displaystyle \int_0^1f(x)dx=1,\int_0^1xf(x)dx=\alpha,\int_0^1x^2f(x)dx=\alpha^2.

14. Найдите все дважды дифференцируемые функции f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} такие, что

(f(x))^2-(f(y))^2=f(x+y)f(x-y).

Источник: http://ermine.narod.ru/MATH/STAT/Funceq/sect0.html#vved

Один комментарий

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Очень красивое функциональное неравенство:
    http://dxdy.ru/topic69429.html

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение