9 класс

Первый день

9.1. На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат любого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

(И. Богданов)

9.2. Окружности \omega_1 и \omega_2 касаются внешним образом в точке P. Через центр \omega_1 проведена прямая l_1, касающаяся \omega_2. Аналогично, прямая l_2 касается \omega_1 и проходит через центр \omega_2. Оказалось, что прямые l_1 и l_2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l_1 и l_2.

(Л. Емельянов)

9.3. За круглым столом сидят 30 человек — рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них ровно один друг, причем у рыцаря этот друг — лжец, а у лжеца этот друг — рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос “Сидит ли рядом с вами ваш друг?” сидевшие через одного ответили “да”. Сколько из остальных могли также ответить “да”? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.)

(С. Агаханов)

9.4. Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число am^2+bn^2 является точным квадратом. Докажите, что ab = 0.

(А. Голованов)

Второй день

9.5. Фокусник выкладывает 36 карт в 6 столбцов по 6 карт и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6 \times 6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?

(Л. Емельянов)

9.6. Числа a и b таковы, что a^3 – b^3 = 2, a^5 – b^5 \ge 4. Докажите, что a^2 + b^2 \ge 2.

(И. Богданов)

9.7. На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Пусть E и F — точки, симметричные точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A_0C_0, где A_0 и C_0 — точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.

(Т. Емельянова)

9.8. Дан квадрат n\times n. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2 \times 2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную — в зелёный, а каждую зелёную — в белый. При каких n за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

(Б. Трушин)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение