11 класс

Первый день

11.1. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение любых двух её членов — также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.

(Н. Агаханов)

11.2. Через вершины основания четырёхугольной пирамиды

    \[SABCD\]

проведены прямые, параллельные противоположным боковым ребрам (через вершину

    \[A\]

— параллельно

    \[SC\]

, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырехугольник

    \[ABCD\]

— параллелограмм.

(Н. Агаханов)

11.3. На плоскости нарисованы

    \[n > 2\]

различных векторов

    \[\vec{a}_1,\vec{a}_2, . . . ,\vec{a}_n\]

с равными длинами. Оказалось, что все векторы

    \[-\vec{a}_1 +\vec{a}_2 + . . . +\vec{a}_n, \vec{a}_1 -\vec{a}_2 +\vec{a}_3 + . . . +\vec{a}_n, . . . , \vec{a}_1 +\vec{a}_2 + . . . +\vec{a}_{n-1} -\vec{a}_n<strong> </strong>\]

также имеют равные длины. Докажите, что

    \[\vec{a}_1+\vec{a}_2+. . .+\vec{a}_n = \vec{0}\]

.

(В. Сендеров)

11.4. Главная аудитория фирмы “Рога и копыта” представляет собой квадратный зал из восьми рядов по восемь мест. 64 сотрудника фирмы писали в этой аудитории тест, в котором было шесть вопросов с двумя вариантами ответа на каждый. Могло ли так оказаться, что среди наборов ответов сотрудников нет одинаковых, причем наборы ответов любых двух людей за соседними столами совпали не больше, чем в одном вопросе? (Столы называются соседними, если они стоят рядом в одном ряду или друг за другом в соседних рядах.)

(К. Чувилин)

Второй день

11.5. Докажите, что для любого натурального

    \[n\]

выполнено неравенство

    \[(n - 1)^{n+1}(n + 1)^{n-1} < n^{2n}\]

.

(В. Сендеров)

11.6. В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две группы так, что любая команда первой группы одержала

    \[n\]

побед, а любая команда второй группы — ровно

    \[m\]

побед. Могло ли оказаться, что

    \[m \ne n\]

?

(Н. Агаханов)

11.7. Даны различные натуральные числа

    \[a, b\]

. На координатной плоскости нарисованы графики функций

    \[y = \sin ax, y = \sin bx\]

и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число

    \[c\]

, отличное от

    \[a, b\]

и такое, что график функции

    \[y = \sin cx\]

проходит через все отмеченные точки.

(И. Богданов)

11.8. Выпуклый четырёхугольник

    \[ABCD\]

таков, что

    \[AB\cdot  CD  = AD\cdot BC\]

. Докажите, что

    \[\angle BAC +\angle CBD+\angle DCA+\angle ADB = 180^{\circ}.\]

(И. Богданов, К. Кноп)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение