11 класс
Первый день
11.1. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение любых двух её членов — также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.
(Н. Агаханов)
11.2. Через вершины основания четырёхугольной пирамиды проведены прямые, параллельные противоположным боковым ребрам (через вершину
— параллельно
, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырехугольник
— параллелограмм.
(Н. Агаханов)
11.3. На плоскости нарисованы различных векторов
с равными длинами. Оказалось, что все векторы
также имеют равные длины. Докажите, что .
(В. Сендеров)
11.4. Главная аудитория фирмы “Рога и копыта” представляет собой квадратный зал из восьми рядов по восемь мест. 64 сотрудника фирмы писали в этой аудитории тест, в котором было шесть вопросов с двумя вариантами ответа на каждый. Могло ли так оказаться, что среди наборов ответов сотрудников нет одинаковых, причем наборы ответов любых двух людей за соседними столами совпали не больше, чем в одном вопросе? (Столы называются соседними, если они стоят рядом в одном ряду или друг за другом в соседних рядах.)
(К. Чувилин)
Второй день
11.5. Докажите, что для любого натурального выполнено неравенство
(В. Сендеров)
11.6. В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две группы так, что любая команда первой группы одержала побед, а любая команда второй группы — ровно
побед. Могло ли оказаться, что
?
(Н. Агаханов)
11.7. Даны различные натуральные числа . На координатной плоскости нарисованы графики функций
и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число
, отличное от
и такое, что график функции
проходит через все отмеченные точки.
(И. Богданов)
11.8. Выпуклый четырёхугольник таков, что
. Докажите, что
(И. Богданов, К. Кноп)
Оставьте свой отзыв