11 класс

Первый день

11.1. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение любых двух её членов — также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены — целые числа.

(Н. Агаханов)

11.2. Через вершины основания четырёхугольной пирамиды $SABCD$ проведены прямые, параллельные противоположным боковым ребрам (через вершину $A$ — параллельно $SC$ , и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

(Н. Агаханов)

11.3. На плоскости нарисованы $n > 2$ различных векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2, . . . ,\vec{a}_n$ с равными длинами. Оказалось, что все векторы

$-\vec{a}_1 +\vec{a}_2 + . . . +\vec{a}_n, \vec{a}_1 -\vec{a}_2 +\vec{a}_3 + . . . +\vec{a}_n, . . . , \vec{a}_1 +\vec{a}_2 + . . . +\vec{a}_{n-1} -\vec{a}_n$

также имеют равные длины. Докажите, что $\vec{a}_1+\vec{a}_2+. . .+\vec{a}_n = \vec{0}$ .

(В. Сендеров)

11.4. Главная аудитория фирмы “Рога и копыта” представляет собой квадратный зал из восьми рядов по восемь мест. 64 сотрудника фирмы писали в этой аудитории тест, в котором было шесть вопросов с двумя вариантами ответа на каждый. Могло ли так оказаться, что среди наборов ответов сотрудников нет одинаковых, причем наборы ответов любых двух людей за соседними столами совпали не больше, чем в одном вопросе? (Столы называются соседними, если они стоят рядом в одном ряду или друг за другом в соседних рядах.)

(К. Чувилин)

Второй день

11.5. Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено неравенство

$(n - 1)^{n+1}(n + 1)^{n-1} < n^{2n}.$

(В. Сендеров)

11.6. В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две группы так, что любая команда первой группы одержала $n$ побед, а любая команда второй группы — ровно $m$ побед. Могло ли оказаться, что $m \ne n$ ?

(Н. Агаханов)

11.7. Даны различные натуральные числа $a, b$ . На координатной плоскости нарисованы графики функций $y = \sin ax, y = \sin bx$ и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число $c$ , отличное от $a, b$ и такое, что график функции $y = \sin cx$ проходит через все отмеченные точки.