10 класс

Первый день

10.1. Даны десять положительных чисел, любые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырех из оставшихся.

(А. Голованов)

10.2. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что \angle FAE = \angle BDC, а четырехугольники ABDF и ACDE являются вписанными. Докажите, что прямые BF и CE параллельны.

(А. Акопян)

10.3. Последовательность чисел a_1, a_2, . . . задана условиями

a_1 = 1, a_2 = 143 и \displaystyle a_{n+1} = 5\cdot \frac{a_1 + a_2 + . . . + a_n}{n}

при всех n \ge 2. Докажите, что все члены последовательности — целые числа.

(М. Мурашкин)

10.4. На окружности отмечено 2N точек (N — натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.

(В. Шмаров)

Второй день

10.5. Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася — значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Петей, оказаться различными?

(Н. Агаханов, П. Кожевников)

10.6. Петя выбрал натуральное число a > 1 и выписал на доску пятнадцать чисел 1 + a, 1 + a^2, 1 + a^3, . . . , 1 + a^{15}. Затем он стёр несколько чисел так, что любые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

(О. Подлипский)

10.7. Дан квадрат n\times n. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2 \times 2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную — в зелёный, а каждую зелёную — в белый. При каких n за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

(Б. Трушин)

10.8. В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям, O — точка пересечения диагоналей. На описанной окружности треугольника OCD взята точка S, диаметрально противоположная точке O. Докажите, что \angle BSC = \angle ASD.

(В. Шмаров)

Комментариев: 2

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Ой, что-то мой комментарий не поместился. Посылаю снова:

    Моя племянница решила задачу 10.1. так:

    Упорядочим все 10 чисел по возрастанию: $a_1, a_2,\dots , a_{10}$
    Так как все они положительны и попарно различны, имеем $a_8a_9a_{10}>a_2a_3a_4$
    Если среди чисел $a_2, a_3, a_4$ есть число, большее или равное 1, выкинем его, от этого произведение не увеличится и задача решена. Если же $a_2, a_3, a_4<1$, добавим к ним $a_1$, от этого произведение уменьшится и задача решена.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Совершенно верное решение :)

    Предыдущий дублирующий комментарий удалила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение