9 класс

Первый день

9.1. Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?

(Л. Емельянов)

9.2. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). На меньшей дуге AC описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.

(Р. Женодаров)

9.3. Через центры некоторых клеток шахматной доски 8\times8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтальи, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь черных частей равна общей площади белых частей.

(Д. Храмцов)

9.4. Даны положительные числа x,y,z. Докажите неравенство

\displaystyle \frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\le\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} .

(А. Храбров, Б. Трушин)

Второй день

9.5. Найдите все числа a такие, что для любого натурального n число an(n+2)(n+4) будет целым.

(О. Подлипский)

9.6. Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A,B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC.

Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходные точки также лежали на одной прямой.

(В. Шмаров)

9.7. Найдите все тройки простых чисел p,q,r такие, что четвертая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.

(В. Сендеров)

9.8. Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

(А. Магазинов)

Один комментарий

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 9.1.

    Ответ: Нет, не верно.
    Числа 0,1; 0,1; 0,9 не все равны, но условию задачи удовлетворяют.
    Действительно, $0,1+0,1^2+0,9^2=0,9+0,1^2+0,1^2=0,1+0,1^2+0,9^2=0,92$

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение