11 класс

Первый день

11.1. Существует ли такое вещественное \alpha, что число \cos\alpha иррационально, а все числа \cos2\alpha,\cos3\alpha,\cos4\alpha,\cos5\alpha рациональны?

(В. Сендеров)

11.2. Даны 2011 ненулевых целых чисел.  Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.

(Р. Агаханов, И. Богданов)

11.3. На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в точке M такой, что AM:MD=2. Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на окружности, описанной около треугольника COD.

(В. Шмаров)

11.4. 2011 складов соединены дорогами так, что от любого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по x_1,\ldots,x_{2011} кг цемента соответственно. За один рейс можно провести с произвольного склада на другой склад по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по y_1,\ldots,y_{2011} кг цемента соответственно, причем

x_1+x_2+\ldots+x_{2011}=y_1+y_2+\ldots+y_{2011} .

За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел x_i и y_i и любой схеме дорог?

(Р. Карасёв)

Второй день

11.5. Найдите все числа a такие, что для любого натурального n число

an(n+2)(n+3)(n+4)

будет целым.

(О. Подлипский)

11.6. Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность \omega. Касательные к \omega, проведенные через точки B и C, пересекают касательную к \omega, проведенную через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведенная через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведенной через L параллельно AC, в точке C. Докажите, что BP=CP.

(П. Кожевников)

11.7. Вася нариосвал на плоскости несколько окружностей и провел всевозможные общие касательные к каждой паре этих окружностей. Оказалось, что проведенные прямые содержат все стороны некоторого правильного 2011-угольника. Какое наименьшее количество окружностей мог нарисовать Вася?

(Н. Агаханов)

11.8. Даны положительные числа b и c. Докажите неравенство

(b-c)^{2011}(b+c)^{2011}(c-b)^{2011}\ge(b^{2011}-c^{2011})(b^{2011}+c^{2011})(c^{2011}-b^{2011}) .

(В. Сендеров)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение