10 класс
Первый день
10.1. Девять лыжников ушли состарта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участовал ровно в четырех обгонах? (В каждом обгоне участвую ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
(С. Волчёнков, И. Богданов)
10.2. Можно ли при каком-то натуральном разбить все натуральные числа от
до
на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получилось два одинаковых числа?
(Н. Агаханов)
10.3. В треугольнике проведены биссектрисы
и пересекающиеся в точке
. Серединный перпендикуляр к отрезку
пересекает прямые
и
в точках
и
соответственно. Докажите, что точки
и
лежат на одной окружности.
(Д. Прокопенко)
10.4. Натуральное число назовем {\it удачным}, если для любого натурального
такого, что
делится на
, число
делится на
. Найдите количество удачных чисел, меньших 2010.
(П. Кожевников)
Второй день
10.5. Ненулевые числа таковы, что
при любом
. Докажите, что
при любом
.
(М. Мурашкин)
10.6. Прямые, касающиеся окружности в точках
и
, пересекаются в точке
. Прямая, проходящая через
высекает на окружности хорду
. Через произвольную точку отрезка
проведена прямая, параллельная
. Докажите, что она делит длины ломаных
и
в одинаковых отношениях.
(Л. Емельянов)
10.7. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом натурального числа?
(В. Сендеров)
10.8. Назовем {\it лестницей высоты} фигуру, состоящую из всех клеток квадрата
, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4).
Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?
(Д. Храмцов)
1 Николай Курило:
Смею заметить ,что тексты задач для 10 класса областных олимпиад (2009-2010 уч.год) и (2010-2011 уч.год) снова….совпадают.Только теперь все -наоборот. Для олимпиады (2009-2010 уч.год) они- правильные, а заменить надо текст задач для 10 класса регионального этапа 2010-2011 уч.года
[Ответить]
11 Июнь 2017, 17:23