10 класс

Первый день

10.1. Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.

(И. Рубанов)

10.2. На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что \angle ABM=\angle CBK. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ABM,ABK,CBM и CBK, лежат на одной окружности.

(Т. Емельянова)

10.3. Даны различные натуральные числа a_1,a_2,\ldots,a_{14}. На доску выписаны все 196 чисел вида a_k+a_l, где 1\le k,l\le 14. Может ли оказаться, что для любой комбинации из двух цифр среди написанных на доске чисел найдется хотя бы одно число, оканчивающееся на эту комбинацию (то есть найдутся числа, оканчивающиеся на 00,01,02,\ldots,99)?

(П. Кожевников)

10.4. Ненулевые числа a,b,c таковы, что любые два из трех уравнений

ax^{11}+bx^4+c=0,bx^{11}+cx^4+a=0,cx^{11}+ax^4+b=0

имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

(И. Богданов)

Второй день

10.5. Найдите все числа a такие, что для любого натурального n число

an(n+2)(n+3)(n+4)

будет целым.

(О. Подлипский)

10.6. На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма любых трех выписанных чисел также является выписанным числом. Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?

(И. Богданов)

10.7. В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C_0 и B_0 – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр вписанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC_0 пересекаются в точке P, а прямые CH и OB_0 – в точке Q. Оказалось, что четырехугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A,P и Q лежат на одной прямой.

(Л. Емельянов)

10.8. Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать,  что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

(А. Магазинов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение