Математика, которая мне нравится

Первый день

10.1. Девять лыжников ушли состарта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участовал ровно в четырех обгонах? (В каждом обгоне участвую ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

(С. Волчёнков, И. Богданов)

10.2. Можно ли при каком-то натуральном разбить все натуральные числа от 1 до на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получилось два одинаковых числа?

(Н. Агаханов)

10.3. В треугольнике проведены биссектрисы
и пересекающиеся в точке . Серединный перпендикуляр к отрезку пересекает прямые и в точках и соответственно. Докажите, что точки и лежат на одной окружности.

(Д. Прокопенко)

10.4. Натуральное число назовем {\it удачным}, если для любого натурального такого, что делится на , число делится на . Найдите количество удачных чисел, меньших 2010.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Ненулевые числа таковы, что при любом . Докажите, что при любом .

(М. Мурашкин)

10.6. Прямые, касающиеся окружности в точках и , пересекаются в точке . Прямая, проходящая через , высекает на окружности хорду . Через произвольную точку отрезка проведена прямая, параллельная . Докажите, что она делит длины ломаных и в одинаковых отношениях.

(Л. Емельянов)

10.7. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом натурального числа?

(В. Сендеров)

10.8. Назовем {\it лестницей высоты} фигуру, состоящую из всех клеток квадрата , лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4).
Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

(Д. Храмцов)