Математика, которая мне нравится

Первый день

10.1. Девять лыжников ушли состарта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участовал ровно в четырех обгонах? (В каждом обгоне участвую ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

(С. Волчёнков, И. Богданов)

10.2. Можно ли при каком-то натуральном

разбить все натуральные числа от 1 до

на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получилось два одинаковых числа?

(Н. Агаханов)

10.3. В треугольнике

проведены биссектрисы

и

пересекающиеся в точке

. Серединный перпендикуляр к отрезку

пересекает прямые

и

в точках

и

соответственно. Докажите, что точки

и

лежат на одной окружности.

(Д. Прокопенко)

10.4. Натуральное число

назовем {\it удачным}, если для любого натурального

такого, что

делится на

, число

делится на

. Найдите количество удачных чисел, меньших 2010.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Ненулевые числа

таковы, что

при любом

. Докажите, что

при любом

.

(М. Мурашкин)

10.6. Прямые, касающиеся окружности

в точках

и

, пересекаются в точке

. Прямая, проходящая через

, высекает на окружности хорду

. Через произвольную точку отрезка

проведена прямая, параллельная

. Докажите, что она делит длины ломаных

и

в одинаковых отношениях.

(Л. Емельянов)

10.7. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом натурального числа?

(В. Сендеров)

10.8. Назовем {\it лестницей высоты}

фигуру, состоящую из всех клеток квадрата

, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4).
Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты

на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

(Д. Храмцов)