10 класс

Первый день

10.1. Девять лыжников ушли состарта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участовал ровно в четырех обгонах? (В каждом обгоне участвую ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

(С. Волчёнков, И. Богданов)

10.2. Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получилось два одинаковых числа?

(Н. Агаханов)

10.3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD,BE
и CF пересекающиеся в точке I. Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A,I,M и N лежат на одной окружности.

(Д. Прокопенко)

10.4. Натуральное число b назовем {\it удачным}, если для любого натурального a такого, что a^5 делится на b^2, число a^2 делится на b. Найдите количество удачных чисел, меньших 2010.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Ненулевые числа a,b,c таковы, что ax^2+bx+c>cx при любом x. Докажите, что cx^2-bx+a>cx-b при любом x.

(М. Мурашкин)

10.6. Прямые, касающиеся окружности \omega в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через произвольную точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях.

(Л. Емельянов)

10.7. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом натурального числа?

(В. Сендеров)

10.8. Назовем {\it лестницей высоты} n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n\times n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4).
Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

(Д. Храмцов)

Один комментарий

  1. 1 Николай Курило:

    Смею заметить ,что тексты задач для 10 класса областных олимпиад (2009-2010 уч.год) и (2010-2011 уч.год) снова….совпадают.Только теперь все -наоборот. Для олимпиады (2009-2010 уч.год) они- правильные, а заменить надо текст задач для 10 класса регионального этапа 2010-2011 уч.года

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение