10 класс

Первый день

10.1. Девять лыжников ушли состарта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участовал ровно в четырех обгонах? (В каждом обгоне участвую ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

(С. Волчёнков, И. Богданов)

10.2. Можно ли при каком-то натуральном

    \[k\]

разбить все натуральные числа от 1 до

    \[k\]

на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получилось два одинаковых числа?

(Н. Агаханов)

10.3. В треугольнике

    \[ABC\]

проведены биссектрисы

    \[AD,BE\]

и

    \[CF\]

пересекающиеся в точке

    \[I\]

. Серединный перпендикуляр к отрезку

    \[AD\]

пересекает прямые

    \[BE\]

и

    \[CF\]

в точках

    \[M\]

и

    \[N\]

соответственно. Докажите, что точки

    \[A,I,M\]

и

    \[N\]

лежат на одной окружности.

(Д. Прокопенко)

10.4. Натуральное число

    \[b\]

назовем {\it удачным}, если для любого натурального

    \[a\]

такого, что

    \[a^5\]

делится на

    \[b^2\]

, число

    \[a^2\]

делится на

    \[b\]

. Найдите количество удачных чисел, меньших 2010.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Ненулевые числа

    \[a,b,c\]

таковы, что

    \[ax^2+bx+c>cx\]

при любом

    \[x\]

. Докажите, что

    \[cx^2-bx+a>cx-b\]

при любом

    \[x\]

.

(М. Мурашкин)

10.6. Прямые, касающиеся окружности

    \[\omega\]

в точках

    \[B\]

и

    \[D\]

, пересекаются в точке

    \[P\]

. Прямая, проходящая через

    \[P\]

, высекает на окружности хорду

    \[AC\]

. Через произвольную точку отрезка

    \[AC\]

проведена прямая, параллельная

    \[BD\]

. Докажите, что она делит длины ломаных

    \[ABC\]

и

    \[ADC\]

в одинаковых отношениях.

(Л. Емельянов)

10.7. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом натурального числа?

(В. Сендеров)

10.8. Назовем {\it лестницей высоты}

    \[n\]

фигуру, состоящую из всех клеток квадрата

    \[n\times n\]

, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4).
Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты

    \[n\]

на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

(Д. Храмцов)

Один комментарий

  1. 1 Николай Курило:

    Смею заметить ,что тексты задач для 10 класса областных олимпиад (2009-2010 уч.год) и (2010-2011 уч.год) снова….совпадают.Только теперь все -наоборот. Для олимпиады (2009-2010 уч.год) они- правильные, а заменить надо текст задач для 10 класса регионального этапа 2010-2011 уч.года

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение