Математика, которая мне нравится

Первый день

9.1. Даны квадратные трехчлены f_1(x)=x^2+2a_1x+b_1, f_2(x)=x^2+2a_2x+b_2, f_3(x)=x^2+2a_3x+b_3. Известно, что a_1a_2a_3=b_1b_2b_3>1. Докажите, что хотя бы один из этих трехчленов имеет два корня.

(Н.Агаханов)

9.2. Семь лыжников с номерами 1, 2, …, 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)  По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

(С.Волчёнков)

9.3. Можно ли при каком-то натуральном k разбить все числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

(Н.Агаханов)

9.4. В треугольнике ABC угол A равен 60^\circ. Пусть BB_1 и CC_1 – биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B_1C_1, лежит на стороне BC.

(Д.Прокопенко)

Второй день

9.5. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

(Р.Женодаров)

9.6. Пусть точки A,B,C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B.  Из точки P, лежащей на прямой b, опущены перпендикуляры PA_1 и PC_1 на прямые AB и BC соответственно (точки A_1 и C_1 лежат на отрезках AB и BC). Докажите, что A_1C_1 \bot  AC.

(Л.Емельянов)

9.7. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

(С.Волчёнков)

9.8. Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел: S_1=2, S_2=2+3=5, S_3=2+3+5=10,\ldots Могут ли два идущих подряд члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

(В.Шарич)