9 класс

Первый день

9.1. Даны квадратные трехчлены $f_1(x)=x^2+2a_1x+b_1$ , $f_2(x)=x^2+2a_2x+b_2$ , $f_3(x)=x^2+2a_3x+b_3$ . Известно, что $a_1a_2a_3=b_1b_2b_3>1$ . Докажите, что хотя бы один из этих трехчленов имеет два корня.

(Н.Агаханов)

9.2. Семь лыжников с номерами 1, 2, …, 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

(С.Волчёнков)

9.3. Можно ли при каком-то натуральном $k$ разбить все числа от $1$ до $k$ на две группы и выписать числа в каждой группе в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

(Н.Агаханов)

9.4. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$ . Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине $A$ относительно прямой $B_1C_1$ , лежит на стороне $BC$ .

(Д.Прокопенко)

Второй день

9.5. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

(Р.Женодаров)

9.6. Пусть точки $A,B,C$ лежат на окружности, а прямая $b$ касается этой окружности в точке $B$ . Из точки $P$ , лежащей на прямой $b$ , опущены перпендикуляры $PA_1$ и $PC_1$ на прямые $AB$ и $BC$ соответственно (точки $A_1$ и $C_1$ лежат на отрезках $AB$ и $BC$ ). Докажите, что $A_1C_1 \bot AC$ .

(Л.Емельянов)

9.7. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

(С.Волчёнков)

9.8. Для каждого натурального $n$ обозначим через $S_n$ сумму первых $n$ простых чисел: $S_1=2, S_2=2+3=5, S_3=2+3+5=10,\ldots$ Могут ли два идущих подряд члена последовательности $(S_n)$ оказаться квадратами натуральных чисел?