Математика, которая мне нравится

Первый день

9.1. Даны квадратные трехчлены , , . Известно, что . Докажите, что хотя бы один из этих трехчленов имеет два корня.

(Н.Агаханов)

9.2. Семь лыжников с номерами 1, 2, …, 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)  По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

(С.Волчёнков)

9.3. Можно ли при каком-то натуральном разбить все числа от до на две группы и выписать числа в каждой группе в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

(Н.Агаханов)

9.4. В треугольнике угол равен . Пусть и — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине относительно прямой , лежит на стороне .

(Д.Прокопенко)

Второй день

9.5. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

(Р.Женодаров)

9.6. Пусть точки лежат на окружности, а прямая касается этой окружности в точке .  Из точки , лежащей на прямой , опущены перпендикуляры и на прямые и соответственно (точки и лежат на отрезках и ). Докажите, что .

(Л.Емельянов)

9.7. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

(С.Волчёнков)

9.8. Для каждого натурального обозначим через сумму первых простых чисел: Могут ли два идущих подряд члена последовательности оказаться квадратами натуральных чисел?

(В.Шарич)