9 класс
Первый день
9.1. Даны квадратные трехчлены ,
,
. Известно, что
. Докажите, что хотя бы один из этих трехчленов имеет два корня.
(Н.Агаханов)
9.2. Семь лыжников с номерами 1, 2, …, 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.
(С.Волчёнков)
9.3. Можно ли при каком-то натуральном разбить все числа от
до
на две группы и выписать числа в каждой группе в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?
(Н.Агаханов)
9.4. В треугольнике угол
равен
. Пусть
и
— биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине
относительно прямой
, лежит на стороне
.
(Д.Прокопенко)
Второй день
9.5. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
(Р.Женодаров)
9.6. Пусть точки лежат на окружности, а прямая
касается этой окружности в точке
. Из точки
, лежащей на прямой
, опущены перпендикуляры
и
на прямые
и
соответственно (точки
и
лежат на отрезках
и
). Докажите, что
.
(Л.Емельянов)
9.7. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
(С.Волчёнков)
9.8. Для каждого натурального обозначим через
сумму первых
простых чисел:
Могут ли два идущих подряд члена последовательности
оказаться квадратами натуральных чисел?
(В.Шарич)
Оставьте свой отзыв