Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на ?

(С. Волчёнков)

11.2. В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

(Д. Храмцов)

11.3. Четырёхугольник вписан в окружность с диаметром . Точки и — проекции вершин и соответственно на прямую . Через точку проведена прямая, параллельная и пересекающая в точке . Докажите, что угол — прямой.

(Т. Емельянова)

11.4. Назовем тройку натуральных чисел квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число взаимно просто с каждым из чисел и , а число является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число.

(В. Сендеров)

Второй день

11.5. Углы треугольника удовлетворяют неравенствам , , . Докажите, что треугольник остроугольный.

(И. Богданов)

11.6. В основании четырёхугольной пирамиды лежит параллелограмм . Докажите, что для любой точки внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров и равна сумме объёмов тетраэдров и .

(Д. Терёшин)

11.7. Целые числа таковы, что значения квадратных трёхчленов и при совпадают. Может ли первый трёхчлен при принимать значение 2009?

(П. Козлов)

11.8. В клетки квадрата расставили числа 1, 2, , 10000, каждое — по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть — минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать ?

(И. Богданов)