11 класс

Первый день

11.1. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на \sqrt{2}?

(С. Волчёнков)

11.2. В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

(Д. Храмцов)

11.3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой.

(Т. Емельянова)

11.4. Назовем тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число.

(В. Сендеров)

Второй день

11.5. Углы треугольника \alpha, \beta, \gamma удовлетворяют неравенствам \sin \alpha>\cos \beta, \sin \beta> \cos \gamma, \sin \gamma > \cos \alpha. Докажите, что треугольник остроугольный.

(И. Богданов)

11.6. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA.

(Д. Терёшин)

11.7. Целые числа a, b, c таковы, что значения квадратных трёхчленов bx^2 + cx + a и cx^2 + ax + b при x = 1234 совпадают. Может ли первый трёхчлен при x = 1 принимать значение 2009?

(П. Козлов)

11.8. В клетки квадрата 100 \times 100 расставили числа 1, 2, \ldots , 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

(И. Богданов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение