11 класс
Первый день
11.1. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на ?
(С. Волчёнков)
11.2. В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.
(Д. Храмцов)
11.3. Четырёхугольник вписан в окружность с диаметром
. Точки
и
— проекции вершин
и
соответственно на прямую
. Через точку
проведена прямая, параллельная
и пересекающая
в точке
. Докажите, что угол
— прямой.
(Т. Емельянова)
11.4. Назовем тройку натуральных чисел квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число
взаимно просто с каждым из чисел
и
, а число
является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число.
(В. Сендеров)
Второй день
11.5. Углы треугольника удовлетворяют неравенствам
,
,
. Докажите, что треугольник остроугольный.
(И. Богданов)
11.6. В основании четырёхугольной пирамиды лежит параллелограмм
. Докажите, что для любой точки
внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров
и
равна сумме объёмов тетраэдров
и
.
(Д. Терёшин)
11.7. Целые числа таковы, что значения квадратных трёхчленов
и
при
совпадают. Может ли первый трёхчлен при
принимать значение 2009?
(П. Козлов)
11.8. В клетки квадрата расставили числа 1, 2,
, 10000, каждое — по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть
— минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать
?
(И. Богданов)
Оставьте свой отзыв