11 класс

Первый день

11.1. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на $\sqrt{2}$ ?

(С. Волчёнков)

11.2. В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

(Д. Храмцов)

11.3. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AC$ . Точки $K$ и $M$ — проекции вершин $A$ и $C$ соответственно на прямую $BD$ . Через точку $K$ проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая $AC$ в точке $P$ . Докажите, что угол $KPM$ — прямой.

(Т. Емельянова)

11.4. Назовем тройку натуральных чисел $(a, b, c)$ квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число $b$ взаимно просто с каждым из чисел $a$ и $c$ , а число $abc$ является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число.

(В. Сендеров)

Второй день

11.5. Углы треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ удовлетворяют неравенствам $\sin \alpha>\cos \beta$ , $\sin \beta> \cos \gamma$ , $\sin \gamma > \cos \alpha$ . Докажите, что треугольник остроугольный.

(И. Богданов)

11.6. В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$ . Докажите, что для любой точки $O$ внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров $OSAB$ и $OSCD$ равна сумме объёмов тетраэдров $OSBC$ и $OSDA$ .

(Д. Терёшин)

11.7. Целые числа $a, b, c$ таковы, что значения квадратных трёхчленов $bx^2 + cx + a$ и $cx^2 + ax + b$ при $x = 1234$ совпадают. Может ли первый трёхчлен при $x = 1$ принимать значение 2009?

(П. Козлов)

11.8. В клетки квадрата $100 \times 100$ расставили числа 1, 2, $\ldots$ , 10000, каждое — по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть $S$ — минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать $S$ ?