11 класс

Первый день

11.1. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на $\sqrt{2}$ ?

(С. Волчёнков)

11.2. В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.

(Д. Храмцов)

11.3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром . Точки и – проекции вершин и соответственно на прямую . Через точку проведена прямая, параллельная и пересекающая в точке . Докажите, что угол KPM – прямой.

(Т. Емельянова)

11.4. Назовем тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число взаимно просто с каждым из чисел и , а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число.

(В. Сендеров)

Второй день

11.5. Углы треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ удовлетворяют неравенствам $\sin \alpha>\cos \beta$ , $\sin \beta> \cos \gamma$ , $\sin \gamma > \cos \alpha$ . Докажите, что треугольник остроугольный.

(И. Богданов)

11.6. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .

(Д. Терёшин)

11.7. Целые числа a, b, c таковы, что значения квадратных трёхчленов bx^2 + cx + a и cx^2 + ax + b при x = 1234 совпадают. Может ли первый трёхчлен при x = 1 принимать значение 2009?

(П. Козлов)

11.8. В клетки квадрата $100 \times 100$ расставили числа 1, 2, $\ldots$ , 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать ?