10 класс

Первый день

10.1. Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырех обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

(С.Волчёнков, И.Богданов)

10.2. Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке, чтобы получились два одинаковых числа?

(Н.Агаханов)

10.3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD, BE и CF, пересекающиеся в точке I. Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A, I, M и N лежат на одной окружности.

(Д. Прокопенко)

10.4. Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a такого, что a^5 делится на b^2, число a^2 делится на b. Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Ненулевые числа a, b, c таковы, что ax^2+bx+c > cx при любом x. Докажите, что cx2 − bx + a > cx − b при любом x.

(М. Мурашкин)

10.6. Прямые, касающиеся окружности \omega в точках B и D, пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P, высекает на окружности хорду AC. Через произвольную точку отрезка AC проведена прямая, параллельная BD. Докажите, что она делит длины ломаных ABC и ADC в одинаковых отношениях.

(Л. Емельянов)

10.7. Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

(В. Сендеров)

10.8. Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую  из всех клеток квадрата n \times n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

(Д. Храмцов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение