9 класс

Первый день

9.1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

(А. Канель)

9.2. Рациональные числа a и b удовлетворяют равенству

a^3b + ab^3 + 2a^2b^2 + 2a + 2b + 1 = 0.

Докажите, что число 1−ab является квадратом рационального
числа.

(Р.Женодаров)

9.3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA_1, BB_1, CC1. Прямая, перпендикулярная стороне AC и проходящая через точку A_1, пересекает прямую B_1C_1 в точке D. Докажите, что угол ADC прямой.

(Д. Скробот)

9.4. На рисунке показан треугольник, разбитый на 25 меньших треугольников, занумерованных числами от 1 до 25. Можно ли эти же числа расставить в клетках квадрата 5 \times 5 так, чтобы любые два числа, записанные в соседних треугольниках, были записаны и в соседних клетках квадрата? (Треугольники, так же, как и клетки квадрата, считаются соседними, если имеют общую сторону.)

(А. Грибалко)

Второй день

9.5. На 11 листках бумаги написаны 11 фраз (по одной на листке):
1) Левее этого листка нет листков с ложными утверждениями.
2) Ровно один листок левее этого содержит ложное утверждение.
3) Ровно 2 листка левее этого содержат ложные утверждения.
. . .
11) Ровно 10 листков левее этого содержат ложные утверждения.
Листки в некотором порядке выложили в ряд, идущий слева направо. После этого некоторые из написанных утверждений стали верными, а некоторые — неверными. Каково наибольшее возможное число верных утверждений?

(И. Рубанов)

9.6. Натуральное число m таково, что сумма цифр в десятичной
записи числа 8^m равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа 8^m быть равной 6?

(В.Сендеров)

9.7. Дан параллелограмм ABCD, в котором угол ABC тупой. Прямая AD пересекает второй раз окружность \omega, описанную вокруг треугольника ABC, в точке E. Прямая CD пересекает второй раз окружность \omega в точке F. Докажите, что центр описанной окружности треугольника DEF лежит на окружности \omega.

(Т. Емельянова)

9.8. В шахматном турнире участвовали 8 шахматистов, причем каждый сыграл с каждым ровно по одной партии. Известно, что любые два шахматиста, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное число ничьих в этом турнире. (За выигрыш партии шахматисту начисляется 1 очко, за ничью – \frac{1}{2} очка, за поражение – 0.)

(С. Токарев)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение