11 класс
Первый день
11.1. Квадратный трехчлен таков, что многочлен
имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.
(И. Богданов)
11.2. В некоторых клетках таблицы расставлены несколько крестиков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столбца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?
(И. Богданов)
11.3. Докажите, что при
.
(В. Сендеров)
11.4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведена высота
и отмечены точки
и
— точка пересечения высот и центр описанной окружности. Докажите, что точка, симметричная центру описанной окружности треугольника
относительно прямой
, лежит на средней линии треугольника
.
(Д. Прокопенко)
Второй день
11.5. На плоскости провели несколько прямых и отметили все их точки пересечения. Сколько прямых могло быть проведено, если на одной из проведенных прямых отмечена одна точка, на другой — три, а на третьей — пять? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.
(И. Богданов)
11.6. Точка на стороне
остроугольного треугольника
такова, что
. Окружность, описанная около треугольника
, пересекает сторону
в точках
и
. Прямая
пересекает перпендикуляр, опущенный из
на
, в точке
. Докажите, что
.
(И. Богданов)
11.7. Даны натуральные числа , взаимно простые в совокупности. Верно ли, что обязательно существует такое натуральное
, что число
не делится на
ни при одном натуральном
?
(В. Сендеров)
11.8. По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел.
(И. Богданов)
1 Дарья:
Здравствуйте, а вы не подскажите, как решается задача №11.8. (По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел.)?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 20th, 2015 at 18:50
Дарья, решение добавила, посмотрите.
[Ответить]
Дарья Reply:
Май 20th, 2015 at 19:32
Спасибо!)
[Ответить]