Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Квадратный трехчлен таков, что многочлен имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.

(И. Богданов)

11.2. В некоторых клетках таблицы расставлены несколько крестиков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столбца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

(И. Богданов)

11.3. Докажите, что при .

(В. Сендеров)

11.4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведена высота и отмечены точки и — точка пересечения высот и центр описанной окружности. Докажите, что точка, симметричная центру описанной окружности треугольника относительно прямой , лежит на средней линии треугольника .

(Д. Прокопенко)

Второй день

11.5. На плоскости провели несколько прямых и отметили все их точки пересечения. Сколько прямых могло быть проведено, если на одной из проведенных прямых отмечена одна точка, на другой — три, а на третьей — пять? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

(И. Богданов)

11.6. Точка на стороне остроугольного треугольника такова, что . Окружность, описанная около треугольника , пересекает сторону в точках и . Прямая пересекает перпендикуляр, опущенный из на , в точке . Докажите, что .

(И. Богданов)

11.7. Даны натуральные числа , взаимно простые в совокупности. Верно ли, что обязательно существует такое натуральное , что число не делится на ни при одном натуральном ?

(В. Сендеров)

11.8. По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел.

(И. Богданов)

Показать решение