Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Квадратный трехчлен f(x) таков, что многочлен (f(x))^5-f(x) имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.

(И. Богданов)

11.2. В некоторых клетках таблицы 10\times10 расставлены несколько крестиков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столбца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

(И. Богданов)

11.3. Докажите, что \displaystyle x \cos x\le \frac{\pi^2}{16} при \displaystyle 0\le x \le \frac{\pi}{2}.

(В. Сендеров)

11.4. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AA′ и отмечены точки H и O — точка пересечения высот и центр описанной окружности. Докажите, что точка, симметричная центру описанной окружности треугольника HOA′ относительно прямой HO, лежит на средней линии треугольника ABC.

(Д. Прокопенко)

Второй день

11.5. На плоскости провели несколько прямых и отметили все их точки пересечения. Сколько прямых могло быть проведено, если на одной из проведенных прямых отмечена одна точка, на другой — три, а на третьей — пять? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

(И. Богданов)

11.6. Точка D на стороне BC остроугольного треугольника ABC такова, что AB = AD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает сторону AC в точках A и K. Прямая DK пересекает перпендикуляр, опущенный из B на AC, в точке L. Докажите, что CL = BC.

(И. Богданов)

11.7. Даны натуральные числа a, b, c, взаимно простые в совокупности. Верно ли, что обязательно существует такое натуральное n, что число a^k + b^k + c^k не делится на 2^n ни при одном натуральном k?

(В. Сендеров)

11.8. По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел.

(И. Богданов)

Показать решение