10 класс
Первый день
10.1. Квадратный трехчлен таков, что многочлен
имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.
(И. Богданов)
10.2. Докажите, что найдется такое натуральное число , что произведение некоторых
последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых
последовательных натуральных чисел.
(В. Сендеров)
10.3. У Кости было два набора по 17 монет: в одном наборе все монеты настоящие, а в другом наборе ровно 5 фальшивых (все монеты выглядят одинаково; все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). Один из наборов Костя отдал другу, а впоследствии забыл, какой именно из двух наборов у него остался. Может ли Костя при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выяснить, какой именно из двух наборов он отдал?
(К. Кноп)
10.4. Окружности и
касаются внешним образом в точке
. Точки
и
на окружности
и точки
и
на окружности
таковы, что
и
— общие внешние касательные к окружностям. Прямая
пересекает отрезок
в точке
, а прямая
пересекает вторично окружность
в точке
. Докажите, что точки
и
лежат на одной прямой.
(П. Кожевников)
Второй день
10.5. Натуральное число таково, что сумма цифр в десятичной записи числа
равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа
быть равной 6?
(В. Сендеров)
10.6. Вписанная в треугольник окружность
касается сторон
в точках
и
соответственно. На продолжении отрезка
за точку
взята точка
такая, что
. Прямые
и
пересекают второй раз
окружность в точках
и
. Докажите, что
— диаметр окружности
.
(Р. Женодаров)
10.7. Положительные числа удовлетворяют равенствам
Докажите, что числа равны.
(В. Сендеров)
10.8. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?
(П. Кожевников)
1 Боб:
Крутые задачки, но 10.8 сложная, подскажите ответ.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 4th, 2017 at 19:36
Ответ 160.
[Ответить]
2 Ян Альбертович Дененберг:
Попробую решить задачу 10.2.:
Обозначим произведение всех натуральных чисел от 102 до 101!-1 включительно за X.
Тогда произведение всех натуральных чисел от 1 до 101!-1 включительно будет равно X*101! и произведение всех натуральных чисел от 102 до 101! включительно также будет равно X*101!
Таким образом, произведение 101!-101 последовательных натуральных чисел равно произведению 101!-1 последовательных натуральных чисел.
[Ответить]
20 Май 2020, 1:213 buratinosk:
Задача 10.3.
Делим набор на три кучи: в первой пять, во второй пять, в третьей семь монет. Взвешиваем две первых кучи. При равенстве веса, делаем второе взвешивание, сравнивая монеты первой кучи с третьей, при этом предварительно со второй кучи в первую положим две монеты, чтобы уравнять их количество на чашах. Нарушение равновесия укажет на наличие фальшивых монет, в противном случае их нет.
Предположим, в первой и второй кучах нет фальшивых монет. Тогда при втором взвешивании в третьей куче их будет пять, а в первой, с учетом двух монет от второй кучи, ни одной.
Пусть в первых двух кучах по одной фальшивой монете. Тогда при втором взвешивании в третьей куче их будет три, а в первой, с учетом двух монет от второй кучи, одна или две. Возможен и третий вариант, в первых двух кучах по две фальшивые монеты. В результате при втором взвешивании в третьей куче будет одна фальшивая, а в первой, с учетом двух монет от второй кучи, две, три или четыре.
Интересно, у автора задачи такой вариант решения?
[Ответить]
21 Сентябрь 2020, 17:29