10 класс

Первый день

10.1. Квадратный трехчлен f(x) таков, что многочлен (f(x))^3-f(x) имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.

(И. Богданов)

10.2. Докажите, что найдется такое натуральное число n > 1 , что произведение некоторых последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых n + 100 последовательных натуральных чисел.

(В. Сендеров)

10.3. У Кости было два набора по 17 монет: в одном наборе все монеты настоящие, а в другом наборе ровно 5 фальшивых (все монеты выглядят одинаково; все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). Один из наборов Костя отдал другу, а впоследствии забыл, какой именно из двух наборов у него остался. Может ли Костя при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выяснить, какой именно из двух наборов он отдал?

(К. Кноп)

10.4. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом в точке . Точки и на окружности $\omega_1$ и точки и на окружности $\omega_2$ таковы, что и — общие внешние касательные к окружностям. Прямая пересекает отрезок в точке , а прямая пересекает вторично окружность $\omega_1$ в точке . Докажите, что точки B, M и лежат на одной прямой.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Натуральное число таково, что сумма цифр в десятичной записи числа 2^m равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа 2^m быть равной 6?

(В. Сендеров)

10.6. Вписанная в треугольник ABC окружность $\omega$ касается сторон BC, CA, AB в точках A_1, B_1 и C_1 соответственно. На продолжении отрезка AA_1 за точку взята точка такая, что AD = AC_1 . Прямые DB_1 и DC_1 пересекают второй раз
окружность $\omega$ в точках B_2 и C_2 . Докажите, что B_2C_2 — диаметр окружности $\omega$ .

(Р. Женодаров)

10.7. Положительные числа $x_1, x_2,\ldots , x_{2009}$ удовлетворяют равенствам

x_1^2-x_1x_2+x_2^2= x_2^2- x_2x_3+x_3^2=x_3^2-x_3x_4+x_4^2=
$= . . . = x_{2008}^2-x_{2008}x_{2009}+x_{2009}^2= x_{2009}^2-x_{2009}x_1+x_1^2.$

Докажите, что числа $x_1, x_2,\ldots , x_{2009}$ равны.

(В. Сендеров)

10.8. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?

(П. Кожевников)

Комментарии (RSS) | Трекбек