10 класс
Первый день
10.1. Квадратный трехчлен таков, что многочлен
имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.
(И. Богданов)
10.2. Докажите, что найдется такое натуральное число , что произведение некоторых
последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых
последовательных натуральных чисел.
(В. Сендеров)
10.3. У Кости было два набора по 17 монет: в одном наборе все монеты настоящие, а в другом наборе ровно 5 фальшивых (все монеты выглядят одинаково; все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). Один из наборов Костя отдал другу, а впоследствии забыл, какой именно из двух наборов у него остался. Может ли Костя при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выяснить, какой именно из двух наборов он отдал?
(К. Кноп)
10.4. Окружности и
касаются внешним образом в точке
. Точки
и
на окружности
и точки
и
на окружности
таковы, что
и
— общие внешние касательные к окружностям. Прямая
пересекает отрезок
в точке
, а прямая
пересекает вторично окружность
в точке
. Докажите, что точки
и
лежат на одной прямой.
(П. Кожевников)
Второй день
10.5. Натуральное число таково, что сумма цифр в десятичной записи числа
равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа
быть равной 6?
(В. Сендеров)
10.6. Вписанная в треугольник окружность
касается сторон
в точках
и
соответственно. На продолжении отрезка
за точку
взята точка
такая, что
. Прямые
и
пересекают второй раз
окружность в точках
и
. Докажите, что
— диаметр окружности
.
(Р. Женодаров)
10.7. Положительные числа удовлетворяют равенствам
Докажите, что числа равны.
(В. Сендеров)
10.8. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?
(П. Кожевников)
1 Боб:
Крутые задачки, но 10.8 сложная, подскажите ответ.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 4th, 2017 at 19:36
Ответ 160.
[Ответить]