Математика, которая мне нравится

Первый день

10.1. Квадратный трехчлен f(x) таков, что многочлен (f(x))^3-f(x) имеет ровно три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.

(И. Богданов)

10.2. Докажите, что найдется такое натуральное число n > 1, что произведение некоторых n последовательных натуральных чисел равно произведению некоторых n + 100 последовательных натуральных чисел.

(В. Сендеров)

10.3. У Кости было два набора по 17 монет: в одном наборе все монеты настоящие, а в другом наборе ровно 5 фальшивых (все монеты выглядят одинаково; все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже весят одинаково, но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). Один из наборов Костя отдал другу, а впоследствии забыл, какой именно из двух наборов у него остался. Может ли Костя при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выяснить, какой именно из двух наборов он отдал?

(К. Кноп)

10.4. Окружности \omega_1 и \omega_2 касаются внешним образом в точке O. Точки A и B на окружности \omega_1 и точки C и D на окружности \omega_2 таковы, что AC и BD — общие внешние касательные к окружностям. Прямая AO пересекает отрезок CD в точке M, а прямая CO пересекает вторично окружность \omega_1 в точке N. Докажите, что точки B, M и N лежат на одной прямой.

(П. Кожевников)

Второй день

10.5. Натуральное число m таково, что сумма цифр в десятичной записи числа 2^m равна 8. Может ли при этом последняя цифра числа 2^m быть равной 6?

(В. Сендеров)

10.6. Вписанная в треугольник ABC окружность \omega касается сторон BC, CA, AB в точках A_1, B_1 и C_1 соответственно. На продолжении отрезка AA_1 за точку A взята точка D такая, что AD = AC_1. Прямые DB_1 и DC_1 пересекают второй раз
окружность \omega в точках B_2 и C_2. Докажите, что B_2C_2 — диаметр окружности \omega.

(Р. Женодаров)

10.7. Положительные числа x_1, x_2,\ldots , x_{2009} удовлетворяют равенствам

Докажите, что числа x_1, x_2,\ldots , x_{2009} равны.

(В. Сендеров)

10.8. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?

(П. Кожевников)