9 класс

Первый день

9.1. Даны натуральные числа

    \[M\]

и

    \[N\]

, большие

    \[10\]

, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что

    \[M=3N\]

. Чтобы получить число

    \[M\]

, надо в числе

    \[N\]

к одной из цифр прибавить

    \[2\]

, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечетной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число

    \[N\]

? Найдите все возможные ответы.

(Н. Агаханов)

9.2. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    \[ABC\]

с гипотенузой

    \[AB\]

, касается его сторон

    \[BC,CA,AB\]

в точках

    \[A_1,B_1,C_1\]

соответственно. Пусть

    \[B_1H\]

— высота треугольника

    \[A_1B_1C_1\]

. Докажите, что точка

    \[H\]

лежит на биссектрисе угла

    \[CAB\]

.

(Н. Агаханов)

9.3. Можно ли разбить клетчатую доску

    \[12\times12\]

на уголки из трех соседних клеток так, чтобы каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд клеток доски пересекал одно и то же количество уголков? (Ряд пересекает уголок, если содержит хотя бы одну его клетку.)

(Д. Храмцов)

9.4. По кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася — модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя — модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что любое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что любое Толино число не меньше любого Васиного.

(И. Богданов)

Второй день

9.5. Ненулевые числа

    \[a\]

и

    \[b\]

таковы, что уравнение

    \[a(x-a)^2+b(x-b)^2=0\]

имеет единственное решение. Докажите, что

    \[|a|=|b|\]

.

(Н. Агаханов)

9.6. Тридцать девочек — 13 в красных платьях и 17 в синих платьях — водили хоровод вокруг новогодней елки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли ее соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

(Р. Женодаров)

9.7. Серединный перпендикуляр к стороне

    \[AC\]

остроугольного треугольника

    \[ABC\]

пересекает прямые

    \[AB\]

и

    \[BC\]

в точках

    \[B_1\]

и

    \[B_2\]

соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне

    \[AB\]

пересекает прямые

    \[AC\]

и

    \[BC\]

в точках

    \[C_1\]

и

    \[C_2\]

соответственно. Окружности. описанные около треугольников

    \[BB_1B_2\]

и

    \[CC_1C_2\]

пересекаются в точках

    \[P\]

и

    \[Q\]

. Докажите, что центр окружности. описанной около треугольника

    \[ABC\]

, лежит на прямой

    \[PQ\]

.

(Л. Емельянов)

9.8. В клетках доски

    \[8\times8\]

расставлены числа

    \[1\]

и

    \[-1\]

(в каждой клетке — по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения фигурки на доске (фигурку можно поворачивать, но ее клетки не должны выходить за пределы доски). Назовем такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырех клетках фигурки, не равна нулю. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений.

(М. Антипов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение