11 класс

Первый день

11.1 . Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трех чисел записали на доске, а затем все, кроме трех последних цифр этого произведения, стерли. Какие три цифры могли остаться на доске?

(Н. Агаханов)

11.2. Пусть P(x) и Q(x) — приведенные квадратные трехчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трехчлена P(x) в трехчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трехчлена Q(x) в трехчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трехчленов P(x) и Q(x) равны.

(Н. Агаханов)

11.3. Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества A_1,A_2,A_3,\ldots так, чтобы при любом натуральном k сумма всех чисел, входящих в подмножество A_k, равнялась k+2013?

(Р. Женодаров)

11.4. В окружность \Omega вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB> BC. Пусть P и Q — середины меньшей и большей дуг AC окружности \Omega, соответственно. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BMC, делит пополам отрезок BP.

(Ф. Ивлев)

Второй день

11.5. Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма любых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

(О. Подлипский)

11.6. Три попарно непересекающиеся окружности \omega_x,\omega_y,\omega_z радиусов r_x,r_y,r_z соответственно лежат по одну сторону от прямой t и касаются ее в точках X,Y,Z соответственно. Известно, что Y — середина отрезка XZ, r_x=r_z=r, а r_y> r. Пусть p — одна из общих внутренних касательных к окружностям \omega_x и \omega_y, а q — одна из общих внутренних касательных к окружностям \omega_y и \omega_z. В пересечении прямых p,q,t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус вписанной в него окружности равен r.

(П. Кожевников)

11.7. Найдите все натуральные k такие, что при каждом нечетном n> 100 число 20^n+13^n делится на k.

(А. Голованов)

11.8. Фигура “мамонт” бьет как слон (по диагоналям), но только в трех направлениях из четырех (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске 8\times8?

(О. Дмитриев)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение