11 класс

Первый день

11.1 . Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трех чисел записали на доске, а затем все, кроме трех последних цифр этого произведения, стерли. Какие три цифры могли остаться на доске?

(Н. Агаханов)

11.2. Пусть

    \[P(x)\]

и

    \[Q(x)\]

— приведенные квадратные трехчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трехчлена

    \[P(x)\]

в трехчлен

    \[Q(x)\]

, равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трехчлена

    \[Q(x)\]

в трехчлен

    \[P(x)\]

. Докажите, что дискриминанты трехчленов 

    \[P(x)\]

и

    \[Q(x)\]

равны.

(Н. Агаханов)

11.3. Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества

    \[A_1,A_2,A_3,\ldots\]

так, чтобы при любом натуральном

    \[k\]

сумма всех чисел, входящих в подмножество

    \[A_k\]

, равнялась

    \[k+2013\]

?

(Р. Женодаров)

11.4. В окружность

    \[\Omega\]

вписан остроугольный треугольник

    \[ABC\]

, в котором

    \[AB> BC\]

. Пусть

    \[P\]

и

    \[Q\]

— середины меньшей и большей дуг

    \[AC\]

окружности

    \[\Omega\]

, соответственно. Пусть

    \[M\]

— основание перпендикуляра, опущенного из точки

    \[Q\]

на отрезок

    \[AB\]

. Докажите, что окружность, описанная около треугольника

    \[BMC\]

, делит пополам отрезок

    \[BP\]

.

(Ф. Ивлев)

Второй день

11.5. Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма любых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

(О. Подлипский)

11.6. Три попарно непересекающиеся окружности

    \[\omega_x,\omega_y,\omega_z\]

радиусов

    \[r_x,r_y,r_z\]

соответственно лежат по одну сторону от прямой

    \[t\]

и касаются ее в точках

    \[X,Y,Z\]

соответственно. Известно, что

    \[Y\]

— середина отрезка

    \[XZ\]

,

    \[r_x=r_z=r\]

, а

    \[r_y> r\]

. Пусть

    \[p\]

— одна из общих внутренних касательных к окружностям

    \[\omega_x\]

и

    \[\omega_y\]

, а

    \[q\]

— одна из общих внутренних касательных к окружностям

    \[\omega_y\]

и

    \[\omega_z\]

. В пересечении прямых

    \[p,q,t\]

образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус вписанной в него окружности равен

    \[r\]

.

(П. Кожевников)

11.7. Найдите все натуральные

    \[k\]

такие, что при каждом нечетном

    \[n> 100\]

число

    \[20^n+13^n\]

делится на

    \[k\]

.

(А. Голованов)

11.8. Фигура “мамонт” бьет как слон (по диагоналям), но только в трех направлениях из четырех (отсутствующее направление может быть разным для разных мамонтов). Какое наибольшее число не бьющих друг друга мамонтов можно расставить на шахматной доске

    \[8\times8\]

?

(О. Дмитриев)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение