10 класс

Первый день

10.1. Даны натуральные числа M и N, большие 10, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M=3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечетной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N? Найдите все возможные ответы.

(Н. Агаханов)

10.2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA_1 и CC_1. Окружность \Omega, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A_1C_1 в точках A^{\prime} и C^{\prime}. Касательные к \Omega, проведенные в точках A^{\prime} и C^{\prime}, пересекаются в точке B^{\prime}. Докажите, что прямая BB^{\prime} проходит через центр окружности \Omega.

(Л. Емельянов)

10.3. Даны три квадратных трехчлена P(x),Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трехчлена R(X) в многочлен P(x)+Q(x) получаются равные значения. Аналогично, при подстановке корней трехчлена P(X) в многочлен Q(x)+R(x) получаются равные значения, а также при подстановке корней трехчлена Q(X) в многочлен P(x)+R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трехчлена P(x), сумма корней трехчлена Q(x) и сумма корней трехчлена R(x) равны между собой.

(Н. Агаханов)

10.4. Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества A_1,A_2,A_3,\ldots так, чтобы при любом натуральном k сумма всех чисел, входящих в подмножество A_k, равнялась k+2013?

(Р. Женодаров)

Второй день

10.5. Тридцать девочек — 13 в красных платьях и 17 в синих платьях — водили хоровод вокруг новогодней елки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли ее соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

(Р. Женодаров)

10.6. Натуральные числа a,b и c, где c\ge2, таковы, что \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}. Докажите. что хотя бы одно из чисел a+c,b+c составное.

(В. Сендеров)

10.7. К двум непересекающимся окружностям \omega_1 и \omega_2 проведены три общие касательные — две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a,b и c касаются окружности \omega_1 в точках A_1,B_1 и C_1 соответственно, а окружности \omega_2 — в точках A_2,B_2 и C_2 соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 равно отношению радиусов окружностей \omega_1 и \omega_2.

(Л. Емельянов)

10.8. На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, деляыщих ее на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовем расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удаленными не более, чем на n, увеличилось?

(Д. Храмцов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение