10 класс

Первый день

10.1. Даны натуральные числа

    \[M\]

и

    \[N\]

, большие

    \[10\]

, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что

    \[M=3N\]

. Чтобы получить число

    \[M\]

, надо в числе

    \[N\]

к одной из цифр прибавить

    \[2\]

, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечетной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число

    \[N\]

? Найдите все возможные ответы.

(Н. Агаханов)

10.2. В остроугольном треугольнике

    \[ABC\]

проведены высоты

    \[AA_1\]

и

    \[CC_1\]

. Окружность

    \[\Omega\]

, описанная около треугольника

    \[ABC\]

, пересекает прямую

    \[A_1C_1\]

в точках

    \[A^{\prime}\]

и

    \[C^{\prime}\]

. Касательные к

    \[\Omega\]

, проведенные в точках 

    \[A^{\prime}\]

и

    \[C^{\prime}\]

, пересекаются в точке

    \[B^{\prime}\]

. Докажите, что прямая

    \[BB^{\prime}\]

проходит через центр окружности

    \[\Omega\]

.

(Л. Емельянов)

10.3. Даны три квадратных трехчлена

    \[P(x),Q(x)\]

и

    \[R(x)\]

с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трехчлена

    \[R(X)\]

в многочлен

    \[P(x)+Q(x)\]

получаются равные значения. Аналогично, при подстановке корней трехчлена 

    \[P(X)\]

в многочлен

    \[Q(x)+R(x)\]

получаются равные значения, а также при подстановке корней трехчлена

    \[Q(X)\]

в многочлен

    \[P(x)+R(x)\]

получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трехчлена

    \[P(x)\]

, сумма корней трехчлена

    \[Q(x)\]

и сумма корней трехчлена

    \[R(x)\]

равны между собой.

(Н. Агаханов)

10.4. Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества

    \[A_1,A_2,A_3,\ldots\]

так, чтобы при любом натуральном

    \[k\]

сумма всех чисел, входящих в подмножество

    \[A_k\]

, равнялась

    \[k+2013\]

?

(Р. Женодаров)

Второй день

10.5. Тридцать девочек — 13 в красных платьях и 17 в синих платьях — водили хоровод вокруг новогодней елки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли ее соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

(Р. Женодаров)

10.6. Натуральные числа

    \[a,b\]

и

    \[c\]

, где

    \[c\ge2\]

, таковы, что

    \[\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\]

. Докажите. что хотя бы одно из чисел

    \[a+c,b+c\]

составное.

(В. Сендеров)

10.7. К двум непересекающимся окружностям

    \[\omega_1\]

и

    \[\omega_2\]

проведены три общие касательные — две внешние,

    \[a\]

и

    \[b\]

, и одна внутренняя,

    \[c\]

. Прямые

    \[a,b\]

и

    \[c\]

касаются окружности

    \[\omega_1\]

в точках

    \[A_1,B_1\]

и

    \[C_1\]

соответственно, а окружности

    \[\omega_2\]

— в точках

    \[A_2,B_2\]

и

    \[C_2\]

соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников

    \[A_1B_1C_1\]

и

    \[A_2B_2C_2\]

равно отношению радиусов окружностей

    \[\omega_1\]

и

    \[\omega_2\]

.

(Л. Емельянов)

10.8. На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, деляыщих ее на равные дуги. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовем расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем

    \[n\]

можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удаленными не более, чем на

    \[n\]

, увеличилось?

(Д. Храмцов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение