9 класс
Первый день
9.1. 99 последовательных натуральных чисел разбили произвольным образом на 33 группы по 3 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из 33 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными?
(Н. Агаханов)
9.2. Ненулевые числа 
и 
таковы, что
![\[a^2(b+c-a)=b^2(c+a-b)=c^2(a+b-c).\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93a2a86fae74ed61d7ab3d9c3f529d4a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Докажите, что 
.
(В. Сендеров)
9.3. Трапеция 
с основаниями 
и 
описана около окружности. Известно, что 
. Найдите отношение 
.
(М. Мурашкин)
9.4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая незанятая ладьей клетка находилась хотя бы под боем трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали и между ними нет занятых клеток.)
(М. Мурашкин)
Второй день
9.5. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у 
из них в номере есть цифра 
?
(М. Мурашкин)
9.6. Лестница насчитывает 2008 ступенек, на каждой из них написано одно из чисел 
или 
. Число на ступеньке указывает, на сколько ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступеньках быть отрицательной?
(М. Мурашкин)
9.7. На сторонах треугольника 
отмечены шесть точек: 
и 
на 
, 
и 
на , 
и 
на 
. Известно, что 
, 
и 
. Докажите, что треугольники 
и 
равновелики.
(Л. Емельянов)
9.8. Каждое натуральное число от 
до 
домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких это возможно?
(М. Мурашкин, А. Кришеник)
Оставьте свой отзыв