9 класс

Первый день

9.1. 99 последовательных натуральных чисел разбили произвольным образом на 33 группы по 3 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из 33 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными?

(Н. Агаханов)

9.2. Ненулевые числа a,b и c таковы, что

a^2(b+c-a)=b^2(c+a-b)=c^2(a+b-c).

Докажите, что a=b=c.

(В. Сендеров)

9.3. Трапеция ABCD с основаниями BC и AD описана около окружности. Известно, что \angle BCD = 2\angle BAD. Найдите отношение AB:BC.

(М. Мурашкин)

9.4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая незанятая ладьей клетка находилась хотя бы под боем трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали и между ними нет занятых клеток.)

(М. Мурашкин)

Второй день

9.5. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов – последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у \displaystyle \frac{1}{12} из них в номере есть цифра 7?

(М. Мурашкин)

9.6. Лестница насчитывает 2008 ступенек, на каждой из них написано одно из чисел -2, -1, 1 или 2. Число на ступеньке указывает, на сколько ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступеньках быть отрицательной?

(М. Мурашкин)

9.7. На сторонах треугольника ABC отмечены шесть точек: C_1 и C_2 на AB, A_1 и A_2 на BC, B_1 и B_2 на CA. Известно, что A_1B_2\parallel AB, B_1C_2\parallel BC и C_1A_2\parallel CA. Докажите, что треугольники A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 равновелики.

(Л. Емельянов)

9.8. Каждое натуральное число от 1 до n домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких n это возможно?

(М. Мурашкин, А. Кришеник)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение