9 класс
Первый день
9.1. 99 последовательных натуральных чисел разбили произвольным образом на 33 группы по 3 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из 33 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными?
(Н. Агаханов)
9.2. Ненулевые числа и
таковы, что
Докажите, что .
(В. Сендеров)
9.3. Трапеция с основаниями
и
описана около окружности. Известно, что
. Найдите отношение
.
(М. Мурашкин)
9.4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая незанятая ладьей клетка находилась хотя бы под боем трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали и между ними нет занятых клеток.)
(М. Мурашкин)
Второй день
9.5. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у из них в номере есть цифра
?
(М. Мурашкин)
9.6. Лестница насчитывает 2008 ступенек, на каждой из них написано одно из чисел или
. Число на ступеньке указывает, на сколько ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступеньках быть отрицательной?
(М. Мурашкин)
9.7. На сторонах треугольника отмечены шесть точек:
и
на
,
и
на
,
и
на
. Известно, что
,
и
. Докажите, что треугольники
и
равновелики.
(Л. Емельянов)
9.8. Каждое натуральное число от до
домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких
это возможно?
(М. Мурашкин, А. Кришеник)
Оставьте свой отзыв