9 класс

Первый день

9.1. 99 последовательных натуральных чисел разбили произвольным образом на 33 группы по 3 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел, и у каждого из 33 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными?

(Н. Агаханов)

9.2. Ненулевые числа $a,b$ и $c$ таковы, что

$a^2(b+c-a)=b^2(c+a-b)=c^2(a+b-c).$

Докажите, что $a=b=c$ .

(В. Сендеров)

9.3. Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ описана около окружности. Известно, что $\angle BCD = 2\angle BAD$ . Найдите отношение $AB:BC$ .

(М. Мурашкин)

9.4. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая незанятая ладьей клетка находилась хотя бы под боем трех из них? (Ладья бьет клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или вертикали и между ними нет занятых клеток.)

(М. Мурашкин)

Второй день

9.5. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов — последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у $\displaystyle \frac{1}{12}$ из них в номере есть цифра $7$ ?

(М. Мурашкин)

9.6. Лестница насчитывает 2008 ступенек, на каждой из них написано одно из чисел $-2, -1, 1$ или $2$ . Число на ступеньке указывает, на сколько ступенек следует с нее шагнуть (вверх, если число положительное, или вниз, если число отрицательное). Известно, что с какой бы ступеньки ни начинался путь, он не выйдет за пределы лестницы и обязательно пройдет через верхнюю ступеньку. Может ли сумма всех чисел на ступеньках быть отрицательной?

(М. Мурашкин)

9.7. На сторонах треугольника $ABC$ отмечены шесть точек: $C_1$ и $C_2$ на $AB$ , $A_1$ и $A_2$ на $BC$ , $B_1$ и $B_2$ на $CA$ . Известно, что $A_1B_2\parallel AB$ , $B_1C_2\parallel BC$ и $C_1A_2\parallel CA$ . Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равновелики.

(Л. Емельянов)

9.8. Каждое натуральное число от $1$ до $n$ домножили на некоторую степень двойки с неотрицательным целым показателем, после чего все числа сложили. Полученная сумма также оказалась степенью двойки. При каких $n$ это возможно?