11 класс

Первый день

11.1. 11.1. Натуральные числа n и k, n>k таковы, что число \displaystyle \frac{n!}{k!} оканчивается на 2008. Докажите, что число n также оканчивается на 2008. (Через n! обозначено произведение всех целых чисел от 1 до n: n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n.

11.2. На диаметре AB окружности \omega выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности \omega_1 и \omega_2 соответственно. Прямая l пересекает окружность \omega в точках A и D, окружность \omega_1 — в точках A и E, а окружность \omega_2 — в точках M и N. Докажите, что MD=NE.

11.3. На плоскости даны n векторов, длина каждого не превосходит 1. Докажите, что можно выбрать \alpha и повернуть все векторы на угол \alpha (некоторые — по часовой стрелке, а некоторые — против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила 1.

11.4. Пусть m — количество решений уравнения \sin x=ax+b, а n — количество решений уравнения x=a\cos x+b (a и b — положительные действительные числа, причем a\ne1). Какие значения может принимать выражение mn-m-n?

Второй день

11.5. Назовем тройку положительных чисел (a,b,c) удобной, если система неравенств ax^2 < bx+c,bx^2 < cx+a,cx^2 < ax+b имеет ровно два целых решения. Докажите, что тройка (a,b,c) удобна тогда и только тогда, когда a,b,c --- длины сторон некоторого треугольника.

11.6. Найдите все такие пары натуральных чисел n,k, что n>1, k — нечетно, и (n-1)!+1=n^k.

11.7. Дан параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1. Сфера S с центром на диагонали AC_1 пересекает ребра AB,AD,AA_1 в точках K,L,M соответственно, а ребра C_1D_1,C_1B_1,C_1C — в точках K_1,L_1,M_1 соответственно. Оказалось, что плоскости KLM и K_1L_1M_1 параллельны, но треугольники KLM и K_1L_1M_1 не равны. Докажите, что диагональ AC_1 образует равные углы с ребрами AB,AD и AA_1.

11.8. Шахматную доску разбили на двухклеточные прямоугольники. Каждый из них требуется закрасить каким-нибудь цветом так, чтобы любые две клетки доски, отстоящие на ход коня, были раскрашены в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит для этого? (Ход коня состоит в перемещении на две клетки по горизонтали и одну по вертикали, или же на две клетки по вертикали и одну по горизонтали.)

Комментариев: 4

  1. 1 Николай:

    Елизавета Александровна!
    Не совсем понятно, почему вместо задач областной олимпиады 2007-2008 учебного года в 11 классе приведены задачи заключительного этапа Всероссийской математической олимпиады 2007-2008 ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Вы правы. Задачи заменила.

    [Ответить]

  2. 2 Николай Курило:

    Елизавета Александровна!
    Позвольте заметить ,что задачи ,которые Вы заменили предлагались на окружном (4-м) этапе Всероссийской математической олимпиады 2007-2008 в 11 классе, но не на региональном (областном) этапе 2007-2008 (с 2008/2009 учебного года Окружной этап был упразднен). На Вашем сайте собраны задачи именно областных математических олимпиад-поэтому ,на мной взгляд , целесообразно привести условия задач регионального этапа 2007-2008 для 11 класса.
    Спасибо за прекрасный сайт!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Теперь должно быть все в порядке наконец :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение