11 класс

Первый день

11.1. 11.1. Натуральные числа

    \[n\]

и

    \[k\]

,

    \[n>k\]

таковы, что число

    \[\displaystyle \frac{n!}{k!}\]

оканчивается на 2008. Докажите, что число

    \[n\]

также оканчивается на 2008. (Через

    \[n!\]

обозначено произведение всех целых чисел от 1 до

    \[n\]

:

    \[n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\]

.

11.2. На диаметре

    \[AB\]

окружности

    \[\omega\]

выбрана точка

    \[C\]

. На отрезках

    \[AC\]

и

    \[BC\]

как на диаметрах построены окружности

    \[\omega_1\]

и

    \[\omega_2\]

соответственно. Прямая

    \[l\]

пересекает окружность

    \[\omega\]

в точках

    \[A\]

и

    \[D\]

, окружность

    \[\omega_1\]

— в точках

    \[A\]

и

    \[E\]

, а окружность

    \[\omega_2\]

— в точках

    \[M\]

и

    \[N\]

. Докажите, что

    \[MD=NE\]

.

11.3. На плоскости даны

    \[n\]

векторов, длина каждого не превосходит 1. Докажите, что можно выбрать

    \[\alpha\]

и повернуть все векторы на угол

    \[\alpha\]

(некоторые — по часовой стрелке, а некоторые — против) так, чтобы длина суммы векторов нового набора не превосходила 1.

11.4. Пусть

    \[m\]

— количество решений уравнения

    \[\sin x=ax+b\]

, а

    \[n\]

— количество решений уравнения

    \[x=a\cos x+b\]

(

    \[a\]

и

    \[b\]

— положительные действительные числа, причем

    \[a\ne1\]

). Какие значения может принимать выражение

    \[mn-m-n\]

?

Второй день

11.5. Назовем тройку положительных чисел

    \[(a,b,c)\]

удобной, если система неравенств

    \[ax^2 < bx+c,bx^2 < cx+a,cx^2 < ax+b\]

имеет ровно два целых решения. Докажите, что тройка

    \[(a,b,c)\]

удобна тогда и только тогда, когда

    \[a,b,c\]

— длины сторон некоторого треугольника.

11.6. Найдите все такие пары натуральных чисел

    \[n,k\]

, что

    \[n>1, k\]

— нечетно, и

    \[(n-1)!+1=n^k\]

.

11.7. Дан параллелепипед

    \[ABCDA_1B_1C_1D_1\]

. Сфера

    \[S\]

с центром на диагонали

    \[AC_1\]

пересекает ребра

    \[AB,AD,AA_1\]

в точках

    \[K,L,M\]

соответственно, а ребра

    \[C_1D_1,C_1B_1,C_1C\]

— в точках

    \[K_1,L_1,M_1\]

соответственно. Оказалось, что плоскости

    \[KLM\]

и

    \[K_1L_1M_1\]

параллельны, но треугольники

    \[KLM\]

и

    \[K_1L_1M_1\]

не равны. Докажите, что диагональ

    \[AC_1\]

образует равные углы с ребрами

    \[AB,AD\]

и

    \[AA_1\]

.

11.8. Шахматную доску разбили на двухклеточные прямоугольники. Каждый из них требуется закрасить каким-нибудь цветом так, чтобы любые две клетки доски, отстоящие на ход коня, были раскрашены в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит для этого? (Ход коня состоит в перемещении на две клетки по горизонтали и одну по вертикали, или же на две клетки по вертикали и одну по горизонтали.)

Комментариев: 4

  1. 1 Николай:

    Елизавета Александровна!
    Не совсем понятно, почему вместо задач областной олимпиады 2007-2008 учебного года в 11 классе приведены задачи заключительного этапа Всероссийской математической олимпиады 2007-2008 ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Вы правы. Задачи заменила.

    [Ответить]

  2. 2 Николай Курило:

    Елизавета Александровна!
    Позвольте заметить ,что задачи ,которые Вы заменили предлагались на окружном (4-м) этапе Всероссийской математической олимпиады 2007-2008 в 11 классе, но не на региональном (областном) этапе 2007-2008 (с 2008/2009 учебного года Окружной этап был упразднен). На Вашем сайте собраны задачи именно областных математических олимпиад-поэтому ,на мной взгляд , целесообразно привести условия задач регионального этапа 2007-2008 для 11 класса.
    Спасибо за прекрасный сайт!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Теперь должно быть все в порядке наконец :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение