10 класс

Первый день

10.1. 72 последовательных натуральных числа разбили произвольным образом на 18 групп по 4 числа, в каждой группе посчитали произведение чисел и у каждого из 18 полученных произведений посчитали сумму цифр. Могут ли все полученные суммы цифр быть равными?

(Н. Агаханов)

10.2. На плоскости расставлены 200 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая точка помечена числом 1, 2 или 3, после этого проведены все отрезки, соединяющие пары точек, помеченных различными числами. Каждый отрезок помечен числом (1, 2 или 3), отличным от чисел в его концах. В результате оказалось, что каждое из трех чисел написано на плоскости ровно по n раз. Найдите n.

(П. Кожевников)

10.3. На диаметре AB окружности \omega выбрана точка C. На отрезках AC и BC как на диаметрах построены окружности \omega_1 и \omega_2 соответственно. Прямая l пересекает окружность \omega в точках A и D, окружность \omega_1 – в точках A и E, а окружность \omega_2 – в точках M и N. Докажите, что MD = NE.

(П. Кожевников)

10.4. У трехчлена x^2-ax+b коэффициенты a и b — натуральные числа, а десятичная запись одного из корней начинается 2,008\ldots . Найдите наименьшее возможное значение a.

(И. Богданов)

Второй день

10.5. Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным номером, причем все номера билетов – последовательные числа. Какое наибольшее количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у \displaystyle \frac{1}{12} из них в номере есть цифра 7?

(М. Мурашкин)

10.6. Натуральное число n обладает следующим свойством: для любых натуральных a и b число (a+b)^n-a^n-b^n делится на n. Докажите, что a^n-a делится на n для любого натурального a.

(В. Сендеров)

10.7. Пусть P – произвольная точка на стороне AC треугольника ABC. На сторонах AB и CB взяты точки M и N соответственно так, что AM=AP и CN=CP. Перпендикуляры, проведенные в точках M и N к сторонам AB и BC соответственно, пересекаются в точке Q. Докажите, что \angle QIB=90^{\circ}, где I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

(Т. Емельянова)

10.8. Может ли ладья обойти все клетки доски 10\times10, побывав на каждой клетке ровно по разу, чередуя ходы длиной в одну и в две клетки? (Считается, что, делая ход длиной в две клетки, ладья не проходит по промежуточной клетке.)

(А. Грибалко)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение