9 класс

Первый день

9.1. На столе лежат семь карточек. За один ход разрешается перевернуть любые пять карточек. Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы перевернуть все карточки?

(Л. Емельянов)

9.2. Корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ в 2007 раз больше корней квадратного уравнения $cx^2 + dx + a = 0$ . Докажите, что $b^2 = d^2$ .

(Н. Агаханов)

9.3. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взята точка $B_1$ . Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника. Окружность, описанная около треугольника $AB_1I$ , вторично пересекает сторону $AB$ в точке $C_1$ . Окружность, описанная около треугольника $CB_1I$ , вторично пересекает сторону $BC$ в точке $A_1$ . Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ не зависит от положения точки $B_1$ на стороне $AC$ .

(Т. Емельянова)

9.4. В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой не более, чем за $k$ пересадок. При этом количество авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем $k$ это возможно?

(П. Мартынов)

Второй день

9.5. В наборе из пяти палочек ни из каких трех палочек нельзя составить треугольник. Могло ли так оказаться, что разломав одну из палочек на две, мы получим шесть палочек, из которых можно составить два равнобедренных треугольника?

(С. Волчёнков)

9.6. Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивых — они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты также весят одинаково). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих монет?

(О. Дмитриев)

9.7. Пусть каждое из натуральных чисел $n, n+1, n+2$ делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число $n$ делится на куб некоторого своего простого делителя.

(В. Сендеров)

9.8.Около треугольника $ABC$ описана окружность. Пусть $A_0$ и $C_0$ — соответственно середины ее дуг $BC$ и $AB$ , не содержащих вершин $A$ и $C$ . Оказалось, что отрезок $A_0C_0$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$ . Найдите угол $B$ .