9 класс
Первый день
9.1. На столе лежат семь карточек. За один ход разрешается перевернуть любые пять карточек. Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы перевернуть все карточки?
(Л. Емельянов)
9.2. Корни квадратного уравнения в 2007 раз больше корней квадратного уравнения
. Докажите, что
.
(Н. Агаханов)
9.3. На стороне треугольника
взята точка
. Пусть
— центр вписанной окружности треугольника. Окружность, описанная около треугольника
, вторично пересекает сторону
в точке
. Окружность, описанная около треугольника
, вторично пересекает сторону
в точке
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника
не зависит от положения точки
на стороне
.
(Т. Емельянова)
9.4. В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой не более, чем за пересадок. При этом количество авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем
это возможно?
(П. Мартынов)
Второй день
9.5. В наборе из пяти палочек ни из каких трех палочек нельзя составить треугольник. Могло ли так оказаться, что разломав одну из палочек на две, мы получим шесть палочек, из которых можно составить два равнобедренных треугольника?
(С. Волчёнков)
9.6. Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивых — они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты также весят одинаково). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих монет?
(О. Дмитриев)
9.7. Пусть каждое из натуральных чисел делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число
делится на куб некоторого своего простого делителя.
(В. Сендеров)
9.8.Около треугольника описана окружность. Пусть
и
— соответственно середины ее дуг
и
, не содержащих вершин
и
. Оказалось, что отрезок
касается окружности, вписанной в треугольник
. Найдите угол
.
(В. Филимонов)
1 сайлан:
Пож-та…
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 7th, 2012 at 16:43
Не поняла, Вы что-то хотели?
[Ответить]
2 саша:
А не подскажете где можно найти решения?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 13th, 2014 at 20:50
Могу послать Вам по e-mail.
[Ответить]
3 Ян Альбертович Дененберг:
Попробую решить задачу 9.1.
Одного хода, очевидно, мало, так как некоторые две карточки так и останутся не перевёрнутыми.
За два хода тоже не получится, так как всего будет сделано 10 переворачиваний, а их должно быть нечётное число (поскольку карточек всего 7 и каждую надо перевернуть нечётное число раз).
А вот за три хода можно!
Первым ходом перевернём карточки №1, 2, 3, 4 и 5.
Вторым — 2, 3, 4, 5 и 6.
Третьим — 2, 3, 4, 5 и 7.
Тогда каждая из 7 карточек будет перевёрнута нечётное число раз (№2, 3, 4 и 5 — по разу, а №1, 6 и 7 — по три раза), что нам и требовалось.
С уважением,
Ян Альбертович Дененберг,
Ноф-а-Галиль (бывший Нацерет-Иллит),
16 марта 2020 (мне сегодня исполнилось 43 года).
[Ответить]
17 Март 2020, 0:39