8 класс

Первый день

8. 1. Найдите наименьшее четырехзначное число такое, что произведение его цифр, увеличенных на 1, равно 21.

(И.Рубанов)

8.2. Докажите, что если точка, которая делит одну из сторон треугольника в отношении 1:3, равноудалена от середин двух других сторон, то треугольник – прямоугольный.

(Н.Агаханов)

8.3. При каком наименьшем n на шахматную доску можно поставить n ладей и n слонов так, чтобы любая ладья била хотя бы двух слонов, а любой слон бил хотя бы две ладьи?

(М.Мурашкин)

8.4. На координатной плоскости проведено 20 прямых – графиков линейных функций y = k_1x+b_1, y = k_2x+b_2, \ldots , y = k_{20}x+b_{20}, где каждый из коэффициентов k_1, k_2, \ldots , k_{20}, b_1, b_2, \ldots , b_{20} равен одному из чисел 1, 2, \ldots, 20. Известно, что любые две прямые пересекаются в точке, не лежащей на оси ординат, но никакие три не проходят через одну точку. Отмечены точки пересечения всех пар прямых. Докажите, что модуль произведения абсцисс всех отмеченных точек равен 1.

(И.Рубанов)

Второй день

8.5. Сколько решений имеет числовой ребус

\overline{ABA} \cdot \overline{AA} = \overline{AB}\cdot\overline{AAA} − A,

где A и B – различные числа, A\ne0?

(М.Мурашкин)

8.6. Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивых – они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты тоже весят одинаково).  Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих монет?

(О.Дмитриев)

8.7. Пусть AA_1 и BB_1 – высоты остроугольного треугольника ABC, H – точка их пересечения. Через точку, симметричную середине отрезка BH относительно прямой BC,  провели прямую, перпендикулярную стороне AC. Докажите, что она пересекает прямую BC в точке F_1.

(Л.Емельянов)

8.8. По кругу расставлены n>2007 чисел, не все из которых равны. Известно, что сумма любых 13 стоящих подряд чисел не превосходит 13, а сумма любых 21 стоящих подряд чисел не превосходит 21. Докажите, что сумма всех чисел строго меньше n.

(В.Дольников)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение