11 класс

Первый день

11.1. Существуют ли восемь натуральных чисел, среди которых ровно одно делится на 8, ровно два делятся на 7, ровно три — на 6, . . . , ровно семь — на 2?

(М. Мурашкин)

11.2. Даны числа a, b, c. Известно, что для любого x выполнено неравенство

ax^2 + bx + c \ge bx^2 + cx + a \ge cx^2 + ax + b.

Докажите, что a = b = c.

(И. Богданов)

11.3. Боковое ребро четырехугольной пирамиды назовем хорошим, если медианы двух содержащих его граней, проведенные в середину этого ребра, равны. Докажите, что если в пирамиде три боковых ребра — хорошие, то четвертое боковое ребро также является хорошим.

(Н. Агаханов)

11.4. В стране n городов, некоторые пары из которых соединены непересекающимися дорогами. Известно, что из любого города можно добраться по дорогам до любого другого,  причем единственным способом (если не проезжать по одной дороге более одного раза). Докажите, что министр может объявить не более, чем \displaystyle\frac{n}{51} городов закрытыми (и запретить въезд в них и выезд из них) так, чтобы после этого для любой пары городов X, Y выполнялось одно из двух условий: либо из X нельзя добраться до Y, либо из X можно добраться до Y, проехав не более, чем по 49 дорогам.

(В. Дольников)

Второй день

11.5. Докажите, что при \displaystyle0 < x < \frac{\pi}{2} выполнено неравенство

({\rm tg}\, x)^{\sin x} + ({\rm ctg}\, x)^{\cos x} \ge 2.

(Н. Агаханов)

11.6. Пусть AB и CD — две перпендикулярные хорды окружности с центром O, пересекающиеся в точке E; пусть также N и T — середины отрезков AC и BD соответственно. Докажите, что четырехугольник ENOT — параллелограмм.

(В. Филимонов)

11.7. На клетчатой полоске 1 \times n двое играют в следующую игру. Каждым своим ходом первый игрок закрашивает одну незакрашенную клетку, а второй — две рядом стоящие незакрашеные. Если игрок не может сделать хода — он выиграл. Кто выиграет при правильной игре?

(И. Богданов, М. Исаев)

11.8. Найдите все четверки целых чисел (x, y, z, t) таких, что их  сумма равна 0, а число x^4 + y^4 + z^4 + t^4 + 4xyzt является квадратом целого числа.

(В. Сендеров)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение