10 класс

Первый день

10.1. Существуют ли восемь натуральных чисел, среди которых ровно одно делится на 8, ровно два делятся на 7, ровно три — на 6, . . . , ровно семь — на 2?

(М. Мурашкин)

Показать решение

10.2. Даны числа a, b, c. Известно, что для любого x выполнено неравенство

<br />
ax^2 + bx + c \ge bx^2 + cx + a \ge cx^2 + ax + b.

Докажите, что a = b = c.

(И. Богданов)

10.3. Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую внутри него, проводится отрезок c_X, параллельный AB, с концами на сторонах AC и BC, и отрезок b_X, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков b_X и c_X равны, лежат на одной прямой.

(Л. Емельянов)

10.4. На доске написано число 111\ldots11 – 99 единиц. Петя и Вася играют в следующую игру, делая ходы по очереди; начинает Петя. За ход игрок либо записывает ноль вместо одной из единиц, кроме первой и последней, либо стирает один из нулей.  Проигрывает тот, после чьего хода на доске в первый раз появится число, делящееся на 11. Кто выиграет при правильной игре?

(М. Мурашкин)

Второй день

10.5. В строку выписываются друг за другом без пробелов все натуральные числа в порядке возрастания: 1234567891011\ldots Какая из последовательностей цифр встретится в строке раньше: последовательность ровно из 2006 подряд идущих шестерок (слева и справа от которых стоят не шестерки) или последовательность ровно из 2007 семерок (слева и справа от которой стоят не семерки)?

(М. Мурашкин)

10.6. Пусть AB и CD — две перпендикулярные хорды окружности с центром O, пересекающиеся в точке E; пусть также N и T — середины отрезков AC и BD соответственно. Докажите, что четырехугольник ENOT — параллелограмм.

(В. Филимонов)

10.7. На доске написаны натуральные числа 1, 2, 3,\ldots , 10. Разрешается выписать число  a^2, если на доске уже имеется число a, или выписать наименьшее общее кратное чисел a и b, если числа a и b уже записаны. Можно ли с помощью таких операций получить число 1000000?

(А. Голованов)

Показать решение

10.8. В стране некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что нет трех городов, попарно соединенных дорогами. Кроме того, для любых n дорог найдется город, из которого выходят хотя бы две из них. Докажите, что города можно так разбить на n округов, чтобы любая дорога соединяла города из различных округов.

(В. Астахов)

Комментариев: 7

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Решение задачи 10.1.

    По условию, у нас ровно 7 чётных чисел и ровно 6 чисел, кратных трём. Отсюда следует, что нечётное число, кратное трём, может быть только одно (или может совсем не быть). Значит, из шести чисел, кратных трём, не менее пяти будут также и чётными, следовательно, будут делиться на 6. Однако, по условию задачи, только три числа могут делиться на 6. Полученное противоречие доказывает, что искомых чисел не существует.

    Ответ:
    Таких чисел не существует.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ваше решение абсолютно верно, спасибо.

    [Ответить]

    Александр Reply:

    2,4,6,7,8,12,14,18

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Уважаемый Александр, что-то я не наблюдаю в Вашем примере ни одного числа, кратного пяти, хотя, согласно условию, их должно быть ровно четыре.

    [Ответить]

  2. 2 Ян Альбертович Дененберг:

    Решение задачи 10.7.

    Рассмотрим количество пятёрок, участвующих в разложении каждого из записанных чисел (а также в разложении тех чисел, которые могут быть записаны в дальнейшем). При возведении в квадрат число таких пятёрок удваивается. При взятии НОК оно не меняется (ибо берётся наибольшая из степеней). Налицо полуинвариант. Изначально у нас либо 0 пяторок, либо ровно одна. Ни из нуля, ни из единички невозможно получить 6 одними лишь удваиваниями. А в миллионе пятёрок как раз 6.

    Ответ: число миллион посредством допустимых в условии операций получить невозможно.

    P. S.
    Уважаемая Елизавета Александровна! Переформулируйте, пожалуйста, моё решение так, чтобы по-людски было. А то как-то по-инопланетянски получилось. Видимо, сказались 22 года, прожитые мной за рубежом :-)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Уважаемый Ян Альбертович, решение выложила. Мне как раз Ваше решение вполне понятно, спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Уважаемый Ян Альбертович, не было там решения, я его только что выложила. Извините, ваш комментарий почему-то в спам попал.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение