9 класс

Первый день

9.1. Клетки доски 8\times8 раскрашены в шахматном порядке. Одним ходом разрешается перекрасить любую клетку в цвет одной из соседних с ней клеток. Можно ли с помощью таких перекрашиваний изменить цвет всех клеток на противоположный?

(Н. Агаханов)

9.2. Найдите все натуральные n, удовлетворяющие равенству n!=\overline{123\ldots n} (в правой части последовательно выписаны друг за другом десятичные записи всех натуральных чисел от 1 до n, n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n).

(В. Сендеров)

9.3. Из точки A, расположенной вне окружности \omega, проведены две касательные AB и AC к этой окружности. Точка D лежит на \omega и диаметрально противоположна C. Перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую CD, пересекает ее в точке H. Докажите, что прямая AD делит отрезок BH пополам.

(В. Астахов)

9.4. На острове живут 2006 человек, каждый – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Некоторые из жителей знакомы (если A знаком с B, то B знаком с A). Каждый житель острова, кроме президента, сделал два утверждения – “Я знаю четное число рыцарей” и “Я знаю нечетное чило лжецов”. Докажите, что президент должен сделать такие же два утверждения. (Президент входит в число жителей острова.)

(И. Богданов)

Второй день

9.5. Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно одно пирожное, а Карлсон – ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Могло ли число пирожных, съеденных однажды Карлсоном, оканчиваться на 101?

(Н. Агаханов)

9.6. На доске написаны многочлены x + 1 и x^2 + 1. Разрешается дописывать на доску многочлен f, равный сумме, разности или произведению любых двух различных из написанных многочленов, если многочлен f не был выписан на доске ранее. Можно ли выписать на доску многочлен x^{2006} + 1?

(Н. Агаханов)

9.7. В выпуклом четырехугольнике ABCD описанная окружность треугольника ABC пересекает стороны CD и DA в точках P и Q, а описанная окружность треугольника CDA пересекает стороны AB и BC в точках R и S соответственно. Прямые BP и BQ пересекают отрезок RS в точках M и N. Докажите, что точки M, N, P, Q лежат на одной окружности.

(С. Берлов)

9.8. Есть 15 монет, среди которых четное (неизвестное нам) число фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже весят одинаково, но они легче настоящих. Можно ли за 3 взвешивания на чашечных весах найти хотя бы одну настоящую монету?

(С. Токарев)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение