Математика, которая мне нравится

Первый день

8.1. В государстве каждый житель – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с другом. Президент однажды сделал два утверждения – “Я знаком с четным числом рыцарей” и “Я знаком с нечетным числом лжецов”. Докажите, что любой другой житель сделает такие же утверждения. (Президент входит в число жителей.)

(И. Богданов)

8.2. В произведении ДО\cdotРЕ\cdotМИ\cdotСИ одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры. Каким наибольшим количеством нулей может заканчиваться это произведение?

(И. Рубанов)

8.3. Назовем диагональ пятиугольника хорошей, если какие-то другие диагонали делят ее на три равные части.  Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?

(И. Рубанов)

8.4. В приборе имеется n\ge4 контактов и m\ge4 проводов, причем каждый провод соединяет ровно два контакта. Известно, что для любых четырех проводов найдутся такие два контакта, что любой из этих проводов подсоединен хотя бы к одному из них. Докажите, что найдутся такие три контакта, что любой провод в приборе подсоединен хотя бы к одному из них.

(В. Дольников)

Второй день

8.5. В написанном на доске выражении Петя и Коля заменяют буквы тремя различными натуральными числами: вначале Петя заменяет букву A, затем Коля – букву B, затем опять Петя – букву C. Докажите, что Петя может писать числа так, чтобы окончательное число на доске оказалось целым.

(И. Рубанов, В. Сендеров)

8.6. Клетки прямоугольника 7\times8 покрашены в три цвета, причем в любом квадратике 2\times2 есть клетки всех трех цветов. Какое наибольшее количество клеток может быть покрашено в первый цвет?

(О. Подлипский)

8.7. Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно одно пирожное, а Карлсон ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Могло ли число пирожных, съеденных однажды Карлсоном, оканчиваться на 101?

(Н. Агаханов)

8.8. На разных сторонах угла с вершиной S выбраны точки P и Q (SP\ne  SQ). Через середину M отрезка PQ проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла. Эта прямая пересекается с прямой SP в точке T. Докажите, что перпендикуляр к SP, восставленный в точке T, и перпендикуляр к PQ, восставленный в точке M, пересекаются на биссектрисе угла.

(Л. Емельянов)