8 класс
Первый день
8.1. В государстве каждый житель — либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Все жители знакомы друг с другом. Президент однажды сделал два утверждения – “Я знаком с четным числом рыцарей” и “Я знаком с нечетным числом лжецов”. Докажите, что любой другой житель сделает такие же утверждения. (Президент входит в число жителей.)
(И. Богданов)
8.2. В произведении ДОРЕ
МИ
СИ одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. Каким наибольшим количеством нулей может заканчиваться это произведение?
(И. Рубанов)
8.3. Назовем диагональ пятиугольника хорошей, если какие-то другие диагонали делят ее на три равные части. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?
(И. Рубанов)
8.4. В приборе имеется контактов и
проводов, причем каждый провод соединяет ровно два контакта. Известно, что для любых четырех проводов найдутся такие два контакта, что любой из этих проводов подсоединен хотя бы к одному из них. Докажите, что найдутся такие три контакта, что любой провод в приборе подсоединен хотя бы к одному из них.
(В. Дольников)
Второй день
8.5. В написанном на доске выражении Петя и Коля заменяют буквы тремя различными натуральными числами: вначале Петя заменяет букву , затем Коля — букву
, затем опять Петя — букву
. Докажите, что Петя может писать числа так, чтобы окончательное число на доске оказалось целым.
(И. Рубанов, В. Сендеров)
8.6. Клетки прямоугольника покрашены в три цвета, причем в любом квадратике
есть клетки всех трех цветов. Какое наибольшее количество клеток может быть покрашено в первый цвет?
(О. Подлипский)
8.7. Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно одно пирожное, а Карлсон ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Могло ли число пирожных, съеденных однажды Карлсоном, оканчиваться на 101?
(Н. Агаханов)
8.8. На разных сторонах угла с вершиной выбраны точки
и
(
). Через середину
отрезка
проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе угла. Эта прямая пересекается с прямой
в точке
. Докажите, что перпендикуляр к
, восставленный в точке
, и перпендикуляр к
, восставленный в точке
, пересекаются на биссектрисе угла.
(Л. Емельянов)
Оставьте свой отзыв